Lösningar till tentamen i MAN011 Aritmetik och
algebra, del 2, 98 01 17.
- 4.
- För att visa att ringen är en kropp gäller det att visa att
är irreducibelt. Eftersom polynomet
är av grad 2 räcker det att visa att det saknar faktor av grad 1.
Enligt faktorsatsen är detta det samma som att visa att p(x) saknar
rationellt nollställe. De möjliga rationella nollställena är
och inget duger. Därmed är p(x) irreducibelt och
där
en kropp.
För att invertera
bestämmer vi en största gemensam delare
med
med hjälp av Euklides algoritm:

Detta ger
så 
Svar: 
- 5.
- Vi bestämmer först egenvärden till A genom att bestämma värden på
så att
har rang
Vi gör
radoperationer:


Vi ser att rangen är
om och endast om
eller
Egenvärdena är alltså
och 4.
Vi bestämmer en egenvektor hörande till vart och ett av egenvärdena
och utnyttjar räkningen ovan:

Vi har (t.ex.) egenvektorerna
och
Om
har vi att AC=CD, där

Eftersom egenvektorerna hör till olika egenvärden är de linjärt
oberoende och C har därför rang 3 och är därmed inverterbar.
Svar:
och

- 6.
- Eftersom
är ett nollställe till f(x) vet vi att
delar f(x). Vi utför divisionen och får:

Eftersom
har vi
Detta ger

Svar:
och 
- 7.
- Vi sätter
och bestämmer först ett uttryck
för f(x). Om vi sätter p(x)=1-3x/2+x2/2 har vi att

Vi har alltså f(x)=2/(2-3x+x2)=2/(1-x)(2-x). Multipicerar vi f(x) med
får vi en ny potensserie vars
koefficient framför xn är den sökta summan. Ansättning för
partialbråksuppdelning ger

Handpåläggning ger
och
Sätter vi x=0
får vi 1=A+B+C/2=3+B, så B=-2. Vi får

Svar: 2n+2-n.
- 8.
- Vi underöker om
faktoriserar. Eftersom
och
p(2)=2=p(-2)=p(3), saknar polynomet nollställe och, enligt
Faktorsatsen, därmed faktor av grad 1 (och följdaktligen faktor av
grad 3.) Vi undersöker om p(x) är produkt av två polynom av grad
2 genom att ansätta p(x)=(x2+ax+b)(x2+cx+d), där
och
Utveckling ger ekvationssystemet

Den sista ekvationen ger
eller b=2=d eller motsvarande
där b och d byter plats. Sista alternativet ger ac=2 i andra
ekvationen. Tillsammans med den första ger detta a2=4. Eftersom
har vi lösningen 
Vi får
p(x)=(x2+x+2)(x2+4x+2)
där de två faktorerna är irreducibla.
Vi har alltså kroppen
där
Vi faktoriserar x2+x+2 med Faktorsatsen
och får

Polynomet p(x) har alltså nollställena
och
Eftersom p(-x)=p(x) är också
och
nollställen till p(x). Enligt faktorsatsen har vi
faktoriseringen

Svar: 