Lösningar till tentamen i Aritmetik och algebra, del
2, 98 xx 04.
- 4.
- Det gäller att visa att
är
irreducibelt. Eftersom polynomet är primitivt och av grad 4 räcker
det att visa att det saknar faktorer av grad 1 och 2 i
.
En faktor av grad 1 motsvarar ett nollställe enligt faktorsatsen. De
möjliga rationella nollställena är
och
. Vi
ser genast att de negativa värdena är uteslutna. Vi har p(1)=2,
p(2)=14 och p(4)>0. Inget duger så polynomet saknar faktor av grad
1.
Vi undersöker faktorer av grad 2 genom att ansätta
p(x)=
(x2+ac+b)(x2+cx+d), där
.
Vi kan också förutsätta att
.Utveckling ger ekvationssystemet
![\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}[c]
{rcl}
0&=&a+c\\ 0&=&b+ac+d\\ -3&=&ad+bc\\ 4&=&bd\end{array}\right.\end{displaymath}](img7.gif)
Den sista ekvationen ger alternativen
b=2=d=2 och b=d=-2. Det första alternativet ger -3=4a+c i den
tredje ekvationen. Tillsammans med den första ger detta
vilket strider mot den andra ekvationen. Alternativet
ger 3=4a+c i tredje ekvationen. Med den första ger detta
vilket strider mot den andra ekvationen. Alternativen
ger
i tredje ekvationen, vilket strider
mot den första. Ekvationssystemet saknar alltså lösning och därför
saknar p(x) också faktor av grad 2. Alttså är p(x) irreducibelt
och
en kropp.
För att invertera
använder vi Euklides algoritm:
![\begin{displaymath}
\begin{array}[c]
{rcl}
0=\alpha^{4}-3\alpha+4&=&(\alpha^{3}-3)\alpha+4\\ \end{array}\end{displaymath}](img17.gif)
Detta ger
dvs
.svar: 
- 5.
- Vektorerna
och
är linjärt oberoende om matrisen
har rang 4.
Rad- och kolonnoperatioer (markerade med r resp k) ger


Därmed är vektorerna linjärt oberoende.
- 6.
- Vi skriver om f(x) med hjälp av
Vi har f(x)=1+x+u(x).
Vi får

där den sista likheten får genom förlängning med 1-x.
Partialbråksuppdelning ger

där A och B bestäms med handpåläggning till
respektive
Vi får


dvs

svar:
- 7.
- Vi undersöker först om f(x)=x3+2x+4 kan faktoriseras med
koefficienter i
Eftersom polynomet är av grad 3
räcker det enligt faktorsatsen att undersöka eventuella nollställen i
. Insättning av
ger i tur och
ordning
och 1. Därmed är f(x) irreducibelt i
![$\mathbb Z/5[x].$](img39.gif)
Vi får därför kroppen
där
f(x) har nollstället
men eftersom
även
nollstället
Vi beräknar

Enligt faktorsatsen delas f(x) av


Divisonen ger

svar:
- 8.
- Sätt
Om f(x) multipliceras med
u(x)=1/(1-x) fås en potensserie vars koefficient framför xn
är den sökta summan. Vi skriver om f(x) med hjälp av u(x) och
utnyttjar att
Vi har


Koefficienten framför xn i f(x)u(x)=u(x)4 är alltså
dvs

svar: