$\parbox{5cm}{Aritmetik och algebra\\ del 2, HT 98 \\ ~~~~\\ ~~~~}$

Lösningar till inlämningsuppgifter 1

1.

Vi undersöker först för vilka värden på u som f(x)=x⁴+3x³+ux²-1 har en faktor av grad 1 i $\mathbb Q[x]$. Enligt faktorsatsen motsvaras en sådan av ett rationellt nollställe. Eftersom f(x) har heltalskoefficienter är de möjliga rationella nollställena a/b där $a\,\vert\,-1$ och $b\,\vert\,1$. Detta ger $a/b=\pm 1$. Vi har

$$f(1)=3+u,\mbox{ och }f(-1)=-3+u,$$

så f(x) har en faktor av grad 1 när $u=\pm 3$. För dessa värden har vi

$$x^{4}+3x^{3}-3x^{2}-1=(x-1)(x^{3}+4x^{2}+x+1)\mbox{ resp. }x^{4}+3x^{3}+3x^{2}-1=(x+1)(x^{3}+2x^{2}+x-1),$$

där de två polynomen av grad 3 är irreducibla. De saknar nämligen rationella nollställen (de möjliga är $\pm 1$) och därmed faktor av såväl grad 1 som 2. Vi undersöker för vilka värden på u som f(x) har en faktor av grad 2. Vi ansätter

f(x)=(x²+ax+b)(x²+cx+d)

där vi kan förutsätta att $a,\,b\,c$ och d är heltal eftersom f(x) är primitivt och att $b\leq d$. Identifiering av koefficienter ger att vi ska undersöka för vilka värden på u som ekvationssystemet

$$\left\{\begin{array} {rcl} 3&=&a+c\\ u&=&b+ac+d\\ 0&=&ad+bc\\ -1&=&bd\end{array}\right.$$

har lösning.Den nedersta ekvationen ger b=-1 och d=1 (vi använder att $b\leq d$). Detta ger ekvationssystemet

$$\left\{\begin{array} {rcl} 3&=&a+c\\ u&=&ac\\ 0&=&a-c\end{array}\right.$$

Summan av den första och sista ekvationen ger 3=2a som är olösbar med $a\in \mathbb Z$. Polynomet f(x) saknar alltså faktor av grad 2 för varje värde på heltalet u.

Svar: Polynomet är irreducibelt om $u\not=\pm 3,$ medan x⁴+3x³-3x²-1=(x-1)(x³+4x²+x+1) och x⁴+3x³+3x²-1=(x+1)(x³+2x²+x-1).

2.

Vi faktoriserar först nämnaren, som har heltalskoefficienter och därför de möjliga rationella nollställena a/b där $a\,\vert\,8$ och $b\,\vert\,1,$så $a/b=\pm 1,\,\pm 2,\,\pm 4$ och $\pm 8$. Prövning ger att 2 duger. Faktorsatsen ger

x⁴+2x³-18x²+16x+8=(x-2)(x³+4x²-10x-4)=(x-2)²(x²+6x+2)

där polynomet x²+6x+2 är irreducibelt (t.ex. enligt Eisensteins kriterium med p=2). Enligt satserna om partialbråksuppdelning finns rationella tal $A,\,B,\,C$ och D så att

$$\frac{x^{3}+x^{2}-2x+1}{x^4+2x^3-18x^2+16x+8}=\frac{A}{(x-2)^{2}}+\frac{B}{x-2} +\frac{Cx+D}{x^{2}+6x+2}$$

Handpåläggning ger

A=9/18=1/2

Insättning av $x=0,\,1$ respektive -1 ger ekvationssystemet

$$\left\{ \begin{array} {rcl} 1/8&=&1/8-B/2+D/2\\ 1/9&=&1/2... ...cl} D&=&B\\ -7&=&-16B+2C\\ -3&=&-12B+6C \end{array}\right.$$

De två nedersta ekvationerna ger B=C=1/2.

Svar: (1/2)(1/(x-2)²+1/(x-2)+(x+1)/(x²+6x+2)).

3.

Vi har att $g(x)\in \mathbb Q[x]/(x^{3}-4x-3)$ är inverterbart om och endast om $\mbox{sgd}(g(x),f(x))=1,$ där f(x)=x³-4x-3.

(a)

Eftersom g(x)=x+1 är irreducibelt är $\mbox{sgd}(g(x),f(x))\not=1\Leftrightarrow g(x)\,\vert\,f(x)$. Enligt faktorsatsen är detta ekvivialent med att f(-1)=0. Vi har f(-1)=0, så x+1 är inte inverterbart.

(b)

Eftersom f(1)=-6 är g(x)=x-1 inverterbart (se a)). Vi bestämmer en invers med hjälp av Euklides algoritm:

$$\begin{array} {rcl} f(x)&=&(x^{2}+x-3)(x-1)-6. \end{array}$$

I $\mathbb Q[x]/(x^{3}-4x-3)$ ger detta

$$0=(x^{2}+x-3)(x-1)-6\mbox{ och } 1=((x^{2}+x-3)/6)(x-1)$$

så inversen till x-1 är (x²+x-3)/6.

(c)

Vi bestämmer $\mbox{sgd}(f(x),g(x))$ där g(x)=x²-x med Euklides algoritm:

$$\begin{array} {rcl} f(x)&=&(x+1)(x^{2}-x)-3x-3\\ x^{2}-x&=&(-x/3+2/3)(-3x-3)+2 \end{array}$$

I $\mathbb Q[x]/(x^{3}-4x-3)$ ger detta

$$\begin{array} {rcl} 2&=&(x^{2}-x)+(3x+3)(-x/3+2/3)=(x^{2}-x... ...-x)(-x/3+2/3)=\\ &=&(x^{2}-x)(1+(x+1)(-x/3+2/3)) \end{array}$$

Detta ger 1=(x²-x)(-x²/6+x/6+5/6) så inversen till x²-x är (-x²+x+5)/6.

Svar: x+1 är inte inverterbar, x-1 är inverterbar med invers (x²+x-3)/6 och x²-x är inverterbar med invers (-x²+x+5)/6.

4.

Kvadratkomplettering ger att vi ska lösa

$$0=x^{2}-4x-2=(x-2)^{2}-6\Leftrightarrow (x-2)^{2}=6$$

Elementen i $\mathbb Q(\alpha)$ är av formen $a+b\alpha,$ där $a,\,b\in \mathbb Q,$ eftersom vi räknar modulo andragradspolynomet $\alpha^{2}-6\alpha+3$. Vi sätter $x-2=a+b\alpha$ och ska lösa $(a+b\alpha)^{2}=6$. Utveckling och utnyttjande av $\alpha^{2}=6\alpha-3$ ger

$$6=a^{2}+2ab\alpha+b^{2}\alpha^{2}=a^{2}-3b^{2}+(2ab+6b^{2})\alpha.$$

Detta ger ekvationssystemet

$$\left\{ \begin{array} {rcl} 6&=&a^{2}-3b^{2}\\ 0&=&2b(a+3b)\end{array}\right.$$

Den nedersta ekvationen ger b=0 eller a=-3b. Det första alternativet ger 6=a² i första ekvationen. Denna saknar rationell lösning. Det andra alternativet ger 6=6b² som har lösningarna $b=\pm 1$. Vi får alltså $a+b\alpha=\pm(3-\alpha)$ och

$$x=2\pm(3-\alpha)=\left\{ \begin{array} {r} 5-\alpha\\ 1+\alpha \end{array} \right.$$

Svar: $5-\alpha,\,1+\alpha$.