Tentamen i MAN011 Aritmetik och algebra, del 2, 98 08 22.

1.

Formulera och bevisa kinesiska restsatsen för polynom i $\mathbb Q[x]$. (Fallet med två ekvationer räcker.)

2.

Låt K vara en kropp. Visa att två polynom $f(x),\,g(x)\in K[x]$ har en största gemensam delare gemensam delare d(x) och att denna kan skrivas d(x)=a(x)f(x)+b(x)g(x) för några polynom $a(x),\,b(x)\in K[x]$.

3.

(a)

Låt K vara en kropp. Vad menas med att vektorerna $\mathbf v_{1},\,\mathbf v_{2},\ldots,\mathbf v_{k}$ i Kⁿ är linjärt oberoende?

(b)

Visa att egenvektorer som hör till olika egenvärden är linjärt oberoende.

4.

Visa $\mathbb Q(\alpha),$ där $\alpha^{2}=1-2\alpha$ är en kropp och betsäm inversen till $1+\alpha$.

5.

Matrisen B nedan är inverterbar. Lösekvationen AX=B^-1, där

$$A=\left(\begin{array} {rrr} 1&0&1\\ 2&2&1\\ 0&2&1\end{arr... ...begin{array} {rrr} 1&0&1\\ 0&2&1\\ 0&0&1\end{array}\right)$$

med element i $\mathbb Z/3$.

6.

Bestäm produkten av $f(x)=\sum_{i}(2i^{2}+i+1)2^{-i}x^{i}$ och $g(x)=\sum_{i}(i+2)x^{i}$ i $\mathbb Q[[x]]$.

7.

Bestäm en så liten kropp K som möjligt, som innehåller $\mathbb Z/5,$ sådan att polynomet x³+x²+1 faktoriserar som en produkt av polynom av grad 1 i K[x].

8.

Följden $a_{n},\,n\geq 0,$ i $\mathbb Z/5$ definieras rekursivt av

$$\begin{array} {l} a_{0}=1,\,a_{1}=1,\,a_{2}=3,\,a_{3}=0,\\ a_{n}=2a_{n-1}+a_{n-2}+3a_{n-3}+4a_{n-4},\,n\geq 4.\end{array}$$

Bestäm följdens period.

Skrivningen beräknas vara färdigrättad fredagen den 28 augusti. Den kan återfås samma dag i mottagningsrummet för matematik i matematiskt centrum. Mottagningen är öppen kl 12.00-13.00.

Lösningar finns på kursens hemmsida:

www.math.chalmers/Math/Grundutb/GU/MAN011/V98-2/

efter skrivningstidens slut.