Tentamen i Aritmetik och algebra, del 2, 98 xx 01.

1.

Formulera och bevisa faktorsatsen för polynom i K[x], där K är en kropp.

2.

Formulera och bevisa kinesiska restsatsen för polynom i $\mathbb Q[x].$ (Fallet med två ekvationer räcker.)

3.

(a)

Låt K vara en kropp. Vad menas med att vektorerna $\mathbf v_{1},\,\mathbf v_{2},\ldots, \mathbf v_{n}$ i K^m är linjärt oberoende?

(b)

Låt A vara en $m\times m-$matris med element i kroppen K. Visa att om $\mathbf v_{1},\,\mathbf v_{2},\ldots, \mathbf v_{n}\in K^{m}$ är egenvektorer till A som hör till olika egenvärden, så är de linjärt oberoende.

4.

Visa att $\mathbb Z/7(\alpha),$ där $\alpha^{3}=4\alpha+5,$ är en kropp och invertera elementet $2+\alpha.$

5.

Matriserna A och B har element i $\mathbb Z/5:$

$A=\left(\begin{array} {rrr}1&1&2\\ 3&3&2\\ 4&2&2\end{array}\right)$ och $B=\left(\begin{array} {rr}1&1\\ 2&1\\ 2&2\end{array}\right).$

Lös ekvationen AX=B.

6.

Visa att $\mathbb Q(\alpha),$ där $\alpha^{2}=3\alpha-1$ är en kropp och lös ekvationen
$x^{2}-2x-2+\alpha=0$ i $\mathbb Q(\alpha).$

7.

Betäm produkten av $f(x)=\sum_{i=0}(i+2)x^{i}$ och $g(x)=\sum_{i=0}i2^{-i}x^{i}$ $\mathbb Q[[x]].$

8.

Bestäm perioden av följden a_n i $\mathbb Z/3$ som definieras av

$\begin{array} {l}a_{0}=1,\,a_{1}=0,\,a_{2}=1,\,a_{3}=0\\ a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2}+2a_{n-3}+2a_{n-4},\,n\geq 4.\end{array}$

Förslag till svar:

4) $\alpha+3\alpha^2$   5) $X=\left(\begin{array} {rr}4&3\\ 4&2\\ 4&3\end{array}\right)$   6) $x=3-\alpha,\,\alpha-1$    7) $\sum_{i=0}(2i-2+2^{1-i})x^{i}$   8) 24