Tentamen i Aritmetik och algebra, del 2, 98 xx 04.

1.

Visa att en formell potensserie $f\in K[[x]],$ där K är en kropp är inverterbar om $f(0)\not=0.$

2.

(a)

Vad menas med ett primitivt polynom?

(b)

Formulera och bevisa Gauss lemma.

3.

Låt f vara ett polynom i K[x]. Visa att $g\in K[x]/f$ är inverterbart om och endast om $\mbox{sgd}(f,g)=1.$

4.

Visa att $\mathbb Q(\alpha),$ där $\alpha^{4}=3\alpha-4,$ är en kropp och invertera elementet $\alpha.$

5.

Avgör om vektorerna $\mathbf v_{i}=(1,i,i^{2},i^{3})\in \mathbb Z/7,\,1\leq i\leq 4$ är linjärt oberoende eller ej.

6.

Bestäm inversen till $f(x)=2+2x+x^{2}+x^{3}+\cdots +x^{n}+\cdots\in\mathbb Q[[x]].$

7.

Bestäm en kropp K som innehåller $\mathbb Z/5,$ så att $x^3+2x+4\in \mathbb Z/5[x]$ faktoriserar som en produkt av polynom av grad 1 i K[x]. Ange faktoriseringen.

8.

Beräkna summan $\sum_{i=0}^{n}(2i^{2}+1)$ i $\mathbb Z/3$

Förslag till svar:

4) $3/4-\alpha^3/4$   5) Linjärt oberoende    6) $\sum_{i=0}((1+\sqrt{2})(-1)^{i}+1-\sqrt{2})/(4\sqrt{2}^{i}) ))x^{i}$   7) $K=\mathbb Z/5(\alpha),$ där $\alpha^{3}=1+3\alpha.$ $x^3+2x+4=(x+\alpha^2+3)(x+4\alpha)(x+4\alpha^2+\alpha+2).$   8) ${n+3\choose 3}$