Tentamen i MAN011 Aritmetik och algebra, del 2, 99 01 17, kl 8.45-13.45.

1.

(a)

Definiera vad som menas med en största gemensam delare till två polynom f(x) och g(x) med koefficienter i kroppen K.

(b)

Visa att två polynom $f(x),\,g(x)\in K[x]$ har en största gemensam delare d(x) och att denna kan skrivas d(x)=a(x)f(x)+b(x)g(x), för några polynom $a(x),\,b(x)\in K[x]$.

2.

Formulera och bevisa Eisensteins kriterium för ett primitivt polynom $f(x)\in \mathbb Z[x]$.

3.

Låt A vara en $n\times n$-matris med element i kroppen K. Visa att om $\mathbf v_{1},\mathbf v_{2},\ldots ,\mathbf v_{k}$ är egenvektorer till A som hör till olika egenvärden, så är de linjärt oberoende.

4.

Matrisen A med element i $\mathbb Z/5$ nedan är inverterbar. Visa detta och lös ekvationen XA=B, där

$$A=\left( \begin{array} {rrr} 2&3&0\\ 1&2&1\\ 3&1&2 \end{a... ...\left( \begin{array} {rrr} 1&1&1\\ 2&4&0 \end{array}\right).$$

5.

Visa att $\mathbb Q(\alpha),$ där $\alpha^{4}=3\alpha-3$ är en kropp och bestäm inversen till $\alpha+1$.

6.

Bestäm en så liten kropp K som möjligt, som innehåller $\mathbb Z/3,$ så att $x^{4}+2x^{3}+x+1\in \mathbb Z/3[x]$ faktoriserar som en produkt av polynom av grad 1 i K[x]. Ange faktoriseringen.

7.

Talföljden $a_{i},\,i\geq 0$ i $\mathbb Q$ definieras av $a_{0}=1,\,a_{1}=0,\,a_{2}=2$ och a_i=9a_i-1/2-6a_i-2+2a_i-3, när $i\geq 3$.Beräkna $\sum_{i=0}^{n}a_{i}$.

8.

Följden $a_{i},\,i\geq 0$ i kroppen K satisfierar den linjära rekursionsekvationen

$$c_{d}a_{i}+c_{d-1}a_{i-1}+\ldots+c_{0}a_{i-d}=0,\,i\geq d$$

av grad d med koefficienter i K. Man vet att $a_{i},\,i\geq 0$ är periodisk med period k och att $p(1)\not=0,$ där $p(x)=c_{d}x^{d}+c_{d-1}x^{d-1}+\ldots+c_{1}x+c_{0}$. Visa att

$$\sum_{i=0}^{k-1}a_{i}=0.$$