Inlämningsuppgifter II

1.

Bestäm den lösning till den diofantiska ekvationen

322x-347y=3,

sådan att x är positivt, så litet som möjligt men delbart med 5.

2.

Visa att 10ⁿ+26²ⁿ⁺¹+54 är delbart med 45, för varje heltal $n\geq 1$.

3.

Bestäm den minsta positiva lösningen till ekvationssytemet

$$\left\{ \begin{array} {rcl} x&\equiv &3 \mbox{ mod } 29\\ ... ...mod } 31\\ x&\equiv &7 \mbox{ mod } 33. \end{array} \right.$$

4.

I beviset för att det finns oändligt många primtal utgår man från att man har ett antal sådana, låt oss säga n stycken: $p_{1},\,p_{2},\ldots,p_{n}$. Om man sedan låter m vara produkten av dessa plus 1, d.v.s $m=(p_{1}p_{2}\cdots p_{n})+1,$ så får man ett heltal som har rest 1 vid division med vart och ett av primtalen p_i. Samtidigt vet vi att m är en produkt av primtal, så det måste finnas primtal utöver de n stycken vi hade från början.

Låt a vara ett heltal $\geq 2$ och låt m vara produkten av alla primtal $\leq a$ plus 1.

(a)

Beräkna m när $a=2,\,3,\,4,\,5,\ldots ,13$ och faktorisera m som en produkt av primtal. Använd miniräknare och gör en tabell!

(b)

Är det sant att m alltid är ett primtal?

Lösningarna ska lämnas till respektive övningsledare senast tisdagen den 12 oktober.