Lösningar till MAN011 Aritmetik och Algebra del 1, 5p, 98 10 30.

4.

Vi kvadratkompletterar och får 0=(z+(1-i)/2)²-(1-i)²/4 -4+7i=(z+(1-i)/2)²-4+15i/2. Vi sätter därför z+(1-i)/2=a+bi, där a och b är reella tal och ska alltså lösa (a+bi)²=4-15i/2. Vi jämför längd, realdel och imaginärdel av de båda leden och får ekvationssystemet

$$\left\{ \begin{array} {rcl} a^{2}+b^{2}&=& \sqrt{16+225/4}... ...}=17/2\\ a^{2}-b^{2}&=& 4\\ 2ab&=&-15/2\\ \end{array}\right.$$

Summan av de två översta ger 2a²=25/2, eller $a=\pm 5/2,$ medan deras skilnad ger 2b²=9/2, eller $b=\pm 3/2$. Den nedersta ekvationen ger att a och b ska ha olika tecken. Vi får alltså

$$z=(-1+i)/2\pm (5/2-3i/2).$$

Svar: z=2-i och z=-3+2i.

5.

Vi ser att $\mbox{sgd}(77,65)=1$ och bestämmer först en lösning till 77x+65y=1 med Euklides algoritm:

$$\begin{array} {rcl} 77&=&1\cdot 65+12\\ 65&=&5\cdot 12+5\\ 12&=&2\cdot 5+2\\ 5&=&2\cdot 2+1\end{array}$$

Baklänges ger detta

$$\begin{array} {rcl} 1&=&5-2\cdot 2=5-2(12-2\cdot 5)=5\cdot ... ... 12\\ &=&5\cdot 65-27(77-65)=32\cdot 65-27\cdot 77,\end{array}$$

så 77x+65y=1 har lösningen x=-27, y=32. Multiplicerar vi med 21 har vi att $x=-27\cdot 21=-567,$ $y=32\cdot 21=672$ löser 77x+65y=21.

Samtliga lösningar ges nu av

Svar x=-567+65k, y=672-77k, där k är ett godtyckligt heltal.

6.

Eftersom $35=5\cdot 7$ och 5 och 7 är relstivt prima räcker det att bestämma alla n sådana att 5 och 7 delar n⁴⁹+3n¹⁴+2n.

Vi bestämmer först för vilka n som uttrycket delas av 7, dvs är kongruent modulo 7. Vi har (Fermats lilla sats ger att $n^{7}\equiv n\mbox{ mod }7$):

$$\begin{array} {rcl} n^{49}&\equiv&(n^{7})^{7}\equiv n^{7}\e... ... n^{49}+3n^{14}+2n&\equiv&n+3n^{2}+2n\equiv 3n(n+1)\end{array}$$

Vi ska alltså ha $n\equiv 0$ eller $n\equiv -1\mbox{ mod }7$.

Vi undersöker för vilka värden på n som $n^{49}+3n^{14}+2n\equiv 0\mbox{ mod }5$. Vi får (Fermats lilla sats ger att $n^{5}\equiv n\mbox{ mod }5$):

$$\begin{array} {rcl} n^{49}&\equiv&(n^{5})^{9}n^{4}\equiv n^... ...\\ n^{49}+3n^{14}+2n&\equiv &3n+3n^{2}\equiv3n(n+1)\end{array}$$

Vi ska alltså ha $n\equiv 0$ eller $n\equiv -1\mbox{ mod }7$.Detta ger alternativen

$$\left\{ \begin{array} {rcl} n&\equiv &0 \mbox{ mod }5\\ n... ... \mbox{ mod }5\\ n&\equiv &0 \mbox{ mod }7 \end{array}\right.$$

$$\left\{ \begin{array} {rcl} n&\equiv &0 \mbox{ mod }5\\ n... ... \mbox{ mod }5\\ n&\equiv &-1\mbox{ mod }7 \end{array}\right.$$

Det första har lösningarna n=35k, det andra n=14+35k, det tredje n=20+35k och det sista n=34+35k, där k är ett godtcykligt tal.

Svar: De heltal n som är av formen 35k, 14+35k, 20+35k och 34+35k, där k är ett godtyckligt heltal.

7.

(a)

Vi har att $\mathbb Z/26^{\times}= \{1,\,3,\,5,\,7,\,9,\,11,\,15,\,17,\,19,\,21,\,23\}$ har 12 element, så en delgrupp har ordning 1, 2, 3, 4, 6 eller 12 enligt Lagranges sats. Vi börjar med att undersöka cykliska delgrupper:

$$\begin{array} {rcl} \langle 3\rangle&=&\{3,\,3^{2}=9,\,3^{3... ...\,7^{4}=35=9,\,7^{5}=63=11,\,7^{6}=5^{2}=-1,\ldots\}\end{array}$$

Vi ser att ordningen av 7 är större än 6, så $\langle 7\rangle=\mathbb Z/26^{\times}$. Gruppen är alltså cyklisk och har därför precis en delgrupp av ordning d för varje delare d till 12. Den är $\langle 7^{12/d}\rangle$.

Delgrupperna är alltså $\langle 7\rangle=\mathbb Z/26^{\times}$ $\langle 7^{2}\rangle=\langle 23\rangle,$ $\langle 7^{3}\rangle=\langle 5\rangle,$ $\langle 7^{4}\rangle=\langle 9\rangle,$ $\langle 7^{6}\rangle =\langle 25\rangle$ och $\langle 1 \rangle$.

(b)

$D_{13}=\{1,r,r^{2},\ldots r^{12},s,rs,r^{2}s,\ldots r^{13}s\}$ och r¹³=1=s² samt sr=r^-1s.

Eftersom $r^{i}s\not=1$ och rⁱsrⁱs=r^i-is²=1 har elementen s, rs, r²s, $\ldots r^{13}s$ alla ordning 2 resten av gruppen består av $\langle r\rangle$ som har ordning 13 och därför inte innehåller något element av ordning 2.

Eftersom D₁₃ har ordning $2\cdot 13=26$ gäller enligt Lagranges sats att en delgrupp har ordning 1, 2, 13 eller 26.

En (del)grupp var ordning är ett primtal är cykliska, så en delgrupp av ordning 2 genereras av ett element av ordning 2. Det finns 13 olika sådana: $\langle s\rangle,$ $\langle rs\rangle,$ $\ldots, \langle r^{12}s\rangle$.

En delgrupp av ordning 13 kan inte innehålla något element av ordning 2, så den enda delgruppen av ordning 13 är $\langle r\rangle$.

Svar: a) $\langle 7\rangle=\mathbb Z/26^{\times}$ $\langle 7^{2}\rangle=\langle 23\rangle,$ $\langle 7^{3}\rangle=\langle 5\rangle,$ $\langle 7^{4}\rangle=\langle 9\rangle,$ $\langle 7^{6}\rangle =\langle 25\rangle$ och $\langle 1 \rangle$
b) $\langle 1\rangle,$ $\langle s\rangle,$ $\langle rs\rangle,$ $\ldots, \langle r^{12}s\rangle,$ $\langle r\rangle$ och D₁₃.

8.

Vi har enligt binomialsatsen

$$4^{n}=2^{2n}=(1+1)^{2n}=\sum_{k=0}^{2n}{2n\choose k}= {2n\ch... ...}+\cdots +{2n\choose n-1}+{2n\choose n}+\cdots +{2n\choose 2n}.$$

Men

$${2n \choose n+k}={2n\choose 2n-(n+k)}={2n\choose n-k},$$

så

$${2n\choose n}+{2n\choose n+1}+\cdots +{2n\choose 2n}={2n\choose n}+{2n\choose n-1}+\cdots +{2n\choose 0}$$

Detta ger nu att

$$4^{n}=\sum_{k=0}^{n-1}{2n\choose k}+{2n\choose n}+\sum_{k=0}^{n-1}{2n\choose k}.$$

Löser vi ut summan får vi

$$\sum_{k=0}^{n-1}{2n\choose n}=\frac{4^{n}-{2n\choose n}}{2}$$