Tentamen i Aritmetik och Algebra del 1, 5p, 97 11 01.

1.

(a)

Visa att om p är ett irreducibelt polynom i $\mathbb Q[x]$ och $p\,\vert\,ab,$ där a och b är polynom med rationella koefficienter, så gäller att $p\,\vert\,a$ eller $p\,\vert\,b.$

(b)

Ge exempel på ett polynom i $\mathbb Q[x]$ som är irreducibelt i $\mathbb Q[x],$ men inte i $\mathbb R[x]$.

2.

Låt $a,\,b,\,c,\,d$ vara heltal och n ett positivt heltal. Visa att om $a\equiv b\mbox{ mod }n$ och $c\equiv d\mbox{ mod }n,$ så gäller att $a+c\equiv b+d\mbox{ mod }n$ och att $ac\equiv bd\mbox{ mod }n$.

3.

Formulera och bevisa Lagranges sats om ordningen för en delgrupp till en ändlig grupp.

4.

Bestäm alla lösningar till den diofantiska ekvationen
36x+49y=21.

5.

Bestäm alla heltal x sådana att

$$\left\{\begin{array} {rcl} x&\equiv&3\mbox{ mod }13\\ x&\e... ...&4\mbox{ mod }21\\ x&\equiv&5\mbox{ mod }25.\end{array}\right.$$

6.

Lös ekvationen z²-(5-3i)z+4-7i=0.

7.

Faktorisera polynomet x⁴+4x²-1 med hjälp av irreducibla polynom i $\mathbb Q[x],\,\mathbb R[x],$ samt $\mathbb C[x]$.

8.

Man har två stycken A:n, B:n, C:n och D:n. Hur många olika ``meningar'' med tre ``ord'' kan bildas med dessa bokstäver? (Ett ``ord'' är en sekvens av bokstäver med minst en bokstav. En ``mening'' är en sekvens av ord.)

Skrivingen beräknas vara färdigrättad fredagen den 14 novembewr. Den kan återfårs i rasten på föreläsningen i Aritmetik och Algebra del 2 samma dag. Efter det kan skrivningarna hämtas på expeditionen för matematik i Matematiskt centrum.