Tentamen i MAN011 Aritmetik och algebra, del 1, 98 10 30, kl 8.45-13.45

1.

Låt a, b, c, och d vara heltal och n ett positivt heltal. Visa att om $a\equiv b \;\mbox{mod}\,n$ och $c\equiv d\;\mbox{mod}\,n$, så gäller att $a+c\equiv b+d\;\mbox{mod}\,n$ och $ac\equiv bd\;\mbox{mod}\,n$.

2.

Formulera och bevisa kinesiska restsatsen. Fallet med två ekvationer räcker.

3.

(a)

Formulera och bevisa en sats om eventuella rationella nollställen till ett polynom med heltalskoefficienter.

(b)

Visa att $\sqrt{1+\sqrt{2}}-\sqrt{2}$ är irrationellt.

4.

En talföljd $a_{n},n=0,1,2,\ldots$ definieras rekursivt av

$$\left\{ \begin{array} {l} a_{0}=1,\,a_{1}=2/3\\ a_{n}=a_{n-1}/3+2a_{n-2}/3, \mbox{ när }n\geq 2 \end{array}\right.$$

Visa att a_n<(1/5)(2/3)ⁿ+1 för alla heltal $n\geq 0$.

5.

Lös ekvationen

z²-(5-i)z+8-i=0.

6.

Bestäm det minsta positiva heltalet x sådant att

$$\left\{ \begin{array} {rcrcl} x&\equiv&5&\mbox{mod}&12\\ ... ...&\mbox{mod}&23\\ x&\equiv&7&\mbox{mod}&37. \end{array}\right.$$

7.

Bestäm alla delgrupper till $(\mathbb Z/22)^{\times}$.

8.

Hur många n-siffriga med siffrorna $1,\,2,\,3$ och 4 har ett jämnt antal 1:or och ett udda antal 2:or?