Tentamen i MAN011 Aritmetik och algebra, del 1, 99 01 04, kl 8.45-13.45

1.

Formulera och bevisa triangelolikheten för komplexa tal.

2.

(a)

Vad menas med, enligt definitionen, en största gemensam delare till två polynom f(x) och g(x) i $\mathbb Q[x]$?

(b)

Visa två polynom i f(x) och g(x) i $\mathbb Q[x]$ har en största gemensam delare d(x) och att denna kan skrivas d(x)=a(x)f(x)+b(x)g(x) för några polynom a(x) och b(x) i $\mathbb Q[x]$.

3.

Formulera och bevisa Lagranges sats.

4.

Visa att $15\,\vert\,n^{5}+10n^{4}-5n^{3}+5n^{2}+4n,$ när n är ett heltal.

5.

Talföljden a_n definieras av

$$\left\{\begin{array} {rcl}a_{0}&=&1\\ a_{1}&=&4\\ a_{n}&=&2a_{n-1}+3a_{n-2}\mbox{ ,när }n\geq 2. \end{array}\right.$$

Visa att

$$a_{n}=\frac{5\cdot 3^{n}+(-1)^{n+1}}{4}.$$

6.

Den komplexa tredjegradsekvationen

z³-(5+i)z²+(11+2i)z+9i-7=0

har lösningen z=-i. Bestäm samtliga lösningar.

7.

Hur många delgrupper av ordning $2,\,3,\,5$ och 7 har D₁₅? Motivera noggrant!

8.

Hur många femsiffriga tal har ett udda antal 1:or?