Tentamen i MAN011 Aritmetik och algebra, del 1, 99 10 30, kl 8.45-13.45

1.

Låt $a,\,b,\,c,\,d$ vara heltal och n ett positivt heltal. Visa att om $a\equiv b\mbox{ mod }n$ och $c\equiv d\mbox{ mod }n,$ så gäller att $a+c\equiv b+d\mbox{ mod }n$ och att $ac\equiv bd\mbox{ mod }n$.

2.

(a)

Formulera och bevis en sats om eventuella rationella nollställen till ett polynom i $\mathbb Z[x]$.

(b)

Visa att 7^1/7 är irrationellt.

3.

Visa att en delgrupp till en cyklisk grupp är cyklisk.

4.

Lös ekvationen z²-(3-7i)z-10-11i=0.

5.

Bestäm det minsta positiva heltalet som löser ekvationssystemet

$$\left\{ \begin{array} {rcl} x&\equiv & 2 \mbox{ mod }31 \\... ...od }41 \\ x&\equiv & 7 \mbox{ mod }51 \\ \end{array}\right.$$

6.

Polynomet f(x)=x⁴-8x³+18x²-8x+1 har ett multipelt nollställe. Bestäm alla (komplexa) nollställen till f(x).

7.

Vilken eller vilka av följande grupper är cykliska. Bestäm en generator i förekommande fall:

(a)

$(\mathbb Z/15)^{\times},$

(b)

$(\mathbb Z/22)^{\times},$

(c)

D₇,

(d)

$\mathbb Z/211$.

Motivera noggrant!

8.

Bestäm antalet heltalslösningar till ekvationen

$$x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=24,\mbox{ där }0\leq x_{1},\,x_{2},\,x_{3},\,x_{4},\,x_{5}\leq 7.$$

Efter skrivningstidens slut finns förslag till lösningar på kursens hemsida:

http://www.math.chalmers.se/Math/Grundutb/GU/MAN011/H99-1

Skrivingarna beräknas vara färdigrättade fredgen den 12 november.