Inlämningsuppgifter I

1.

Uppdela det rationella uttrycket

$$\frac{5x^{2}+1}{x^{4}-3x^{3}+x^{2}+4}$$

i partialbråk i $\mathbb Q[x]$ och $\mathbb R[x]$.

2.

Vilken eller vilka av föjlande ringar är kroppar?

a) $\mathbb Q(\alpha),$ där $\alpha^{5}-6\alpha+12=0,$

b) $\mathbb Q(\alpha),$ där $\alpha^{4}+3\alpha-1=0,$

c) $\mathbb Q(\alpha),$ där $\alpha^{4}+2\alpha^{3}-2\alpha^{2}+7\alpha-2=0$.

3.

Undersök om

a) $\alpha^{2}-2\alpha+1$ är inverterbart i $\mathbb Q(\alpha),$ där $\alpha^{3}=-1,$

b) $\alpha^{2}-3\alpha+2$ är inverterbart i $\mathbb Q(\alpha),$ där $\alpha^{4}=2\alpha-1$.

Bestäm inversen i förekommande fall.

4.

Visa att $\mathbb Q(\alpha),$ där $\alpha^{2}=3\alpha-3$ är en kropp och undersök om polynomet

$$x^{2}+(3-2\alpha)x+5-2\alpha\in \mathbb Q(\alpha)[x]$$

har några nollställen i $\mathbb Q(\alpha)$. Bestäm i såfall dessa.

Lösningarna ska lämnas till respektive övningsledare senast tisdagen den 23 november.