Inlämningsuppgifter II

1.

Skriv följande polynom som en produkt av irreducibla polynom i $\mathbb Z/5[x]:$

(a)

x⁴+4x³+2x²+3x+4,

(b)

x⁴+x³+4x²+2x+4.

2.

Avgör om $\mathbb Z/11(\alpha),$ där $\alpha^{2}=-1$ är en kropp. Avgör också om $3+\alpha\in \mathbb Z/11(\alpha)$ är inverterbart. Bestäm i så fall inversen.

3.

Bestäm en så liten kropp K som möjligt som innehåller $\mathbb Q,$ så att f(x)= x⁴+2x³+4x²+4x+4 faktoriserar som en produkt av polynom av grad 1 i K[x]. Ange faktoriseringen.

4.

Bestäm en så liten kropp K som möjligt som innehåller $\mathbb Z/7,$ så att $f(x)= x^4+3x^2+2x+2\in \mathbb Z/7[x]$ faktoriserar som en produkt av polynom av grad 1 i K[x]. Ange faktoriseringen.

Lösningarna ska lämnas till respektive övningsledare senast tisdagen den 7 december.