Inlämningsuppgifter III

1.

Bestäm en bas för lösningsrummet till ekvationssystemet

$$\left\{ \begin{array} {rcrcrcrcrcl} x_{1}&+&2x_{2}&+& & &4... ..._{1}&+&x_{2}&+&x_{3}&+&x_{4}&+&x_{5}&=&0,\\ \end{array}\right.$$

som har koefficienter i $\mathbb Z/5$. Hur många lösningar har ekvationssystemet?

2.

Visa att matrisen

$$A=\left( \begin{array} {rrr} 1&2&1\\ 3&4&1\\ 2&1&0 \end{array}\right)$$

med element i $\mathbb Z/7$ är inverterbar och lös ekvationen AXA^-1=B, där

$$B=\left( \begin{array} {rrr} 0&0&1\\ 0&0&0\\ 1&0&0 \end{array}\right).$$

3.

Bestäm, om möjligt, en diagonal matris D och en inverterbar C så att A=CDC^-1, när

$$A=\left( \begin{array} {rrr} 0&1&2\\ 2&1&1\\ 1&2&2\\ \end{array}\right),$$

med element i $\mathbb Z/3$.

4.

Beräkna summan

$$\sum_{i=0}^{n}\frac{i+1}{(-2)^{i}}$$

i $\mathbb Q$.

Lösningarna ska lämnas till respektive övningsledare senast tisdagen den 21 december.