Tentamen i MAN011 Aritmetik och algebra, del 2, 00 01 15, kl 8.45-13.45.

1. Formulera och bevisa faktorsatsen för polynom med koefficienter i en kropp $K$.

2. Formulera och bevisa Eisensteins kriterium.

3. Visa att om egenvektorerna $\mathbf v_{1},\,\mathbf v_{2},\ldots,\mathbf v_{k}$ till matrisen $A$ hör till olika egenvärden, så är de linjärt oberoende.

4. Visa att ringen $\mathbb{Q}(\alpha),$ där $\alpha^{4}=3\alpha-6$ är en kropp och bestäm inversen till $\alpha^{2}+\alpha+2$.

5. Bestäm, om möjligt, två matriser $C$ och $D$ med element i $\mathbb{Z}/5[x],$ så att $A=CDC^{-1}$ och $D$ är diagonal, när
   
   $$A= \left( \begin{array}{rrr} 0&1&2\\ 1&0&1\\ 2&3&3\end{array}\right).$$
   
   

6. Bestäm en så liten kropp $K$ som möjligt, som innehåller de rationella talen, sådan att polynomet $x^{4}+4x^{3}-x^{2}-10x+3$ faktoriserar som en produkt av polynom av grad $1$ i $K[x]$. Ange faktoriseringen.

7. Talföljden $a_{n},$ $n\geq 0$ i $\mathbb{Z}/7$ definieras av
   
   $$\left\{\begin{array}{l} a_{0}=1,\,a_{1}=1,\,a_{2}=3\\ a_{... ...{n-1}+2a_{n-2}+6a_{n-3},\mbox{ när }n\geq 3\end{array}\right.$$
   
   
   Beräkna $b_{n}=\sum_{i=0}^{n}a_{i}$ och bestäm perioden av följden $b_{n},$ $n\geq 0$.

8. Låt $p$ vara ett primtal och $f(x)$ en irreducibel delare till $x^{p^{n}}-x$ av grad $d$ i $\mathbb{Z}/p[x]$.

   1. Visa att $x^{p^{d}}-x$ delar $x^{p^{n}}-x$ i $\mathbb{Z}/p[x],$ t.ex. genom att studera de båda polynomens nollställen i kroppen $\mathbb{Z}/p(\alpha),$ där $f(\alpha)=0$.
   2. Visa att $d$ delar $n$.

Efter skrivningstidens slut finns förslag till lösningar på kursens hemsida :

http://www.math.chalmers.se/Math/Grundutb/GU/MAN011/H99-2

Skrivningen beräknas vara färdigrättad fredagen den 28 januari. I så fall kan de återfås på mottagningen i Matematiskt centrum samma dag. Öppettider är måndag - fredag kl 12.30-13.00. Vardagar efter kl 14.00 kan man få reda på resultat på telefon 7723509.