$\parbox{5cm}{MATEMATIK \\ Göteborgs universitet\\ \\ }$

$\parbox{3cm}{Inga hjälpmedel\\ Tele:H Säppenen \\ 0740-47 96 26\\ }$

Tentamen i MAN011 Aritmetik och algebra, del 2, 5p, 00 04 17, kl 8.45-13.45.

1. Låt $K$ vara en kropp. Visa att varje polynom av grad $\geq 1$ i $K[x]$ kan skrivas som en produkt av irreducibla polynom.
2. Låt $f,\,g$ och $h$ vara polynom med rationella koefficienter, sådana att $f$ och $g$ är relativt prima samt $\mbox{grad}(h)<\mbox{grad}(fg)$. Visa att det finns polynom $a,\,b\in \mathbb{Q}[x],$ så att $\mbox{grad}(a)< \mbox{grad}(f)$ eller $a=0,$ $\mbox{grad}(b)< \mbox{grad}(g)$ eller $b=0,$ samt
   
   $$\frac{h}{fg}=\frac{a}{f}+\frac{b}{g}.$$
   
   

3. Visa att om vektorerna $\mathbf v_{1},\,\mathbf v_{2},\ldots,\mathbf v_{n}$ hör till olika egenvärden till matrisen $A$ med element i kroppen $K,$ så är de linjärt oberoende.
4. Bestäm en bas för nollrummet till matrisen
   
   $$A=\left( \begin{array}{rrrrr} 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\ 3 & 2 & 4 & 6 & 5 \\ 1 & 0 & 5 & 3 & 2 \end{array}\right),$$
   
   
   som har element i $\mathbb{Z}/7$. Hur många olika lösningar har ekvationssystemet $A\mathbf x=\mathbf 0$?
5. Visa att $K=\mathbb{Q}[x]/p(x),$ där $p(x)=x^{4}+6x^{3}+4x+2$ är en kropp och bestäm inversen till $1-x$ i $K$.
6. Låt $f(x)=x^4+3x^3+2x^2+3x+2\in \mathbb{Z}/5[x]$. Bestäm en så liten kropp $K$ som möjligt, så att $K$ innehåller $\mathbb{Z}/5$ och $f(x)$ är en produkt av polynom av grad $1$ i $K[x]$. Ange faktoriseringen!
7. Låt
   
   $$\begin{array}{rcl} f(x)&=&\sum_{i=0}^{\infty}i^{2}x^{i}\\ g(x)&=&\sum_{i=0}^{\infty}(i+1)x^{i} \end{array}$$
   
   
   vara formella potensserier i $\mathbb{Z}/3[[x]]$. Bestäm deras produkt.
8. Antag att $p$ är ett primtal och $q(x)\in \mathbb{Z}/p[x]$ ett irreducibelt polynom av grad $d$, Visa att $q(x)\,\vert\, x^{p^{d}-1}-1$ (i $\mathbb{Z}/p[x]$).