Tentamen i MAN011 Aritmetik och algebra, del 2, 99 05 29, kl 8.45-13.45.

1.

(a)

Låt K vara en kropp. Vad menas med att vektorerna v₁, ..., v_n i K^m är linjärt oberoende?

(b)

Låt A vara en $2\times 2$ matris med element i kroppen K med två skilda egenvärden $\lambda_1$, $\lambda_2$. Visa att om v₁ och v₂ är egenvektorer till respektive $\lambda_1$ och $\lambda_2$, så är de linjärt oberoende.

2.

Formulera och bevisa faktorsatsen för polynom i K[x], där K är en kropp.

3.

Låt f vara ett polynom i K[x], där K är en kropp. Visa att $g\in K[x]/f$ är inverterbart om och endast om $\mbox{sgd}(f,g)=1$.

4.

Visa att $\mathbb Z/5(\alpha)$, där $\alpha^3=3\alpha+1$, är en kropp och invertera elementet $3+2\alpha+\alpha^2$.

5.

Bestäm en så liten kropp K som möjligt, som innehåller $\mathbb Z/7$, sådan att polynomet $x^4+3x^3+6x^2+3x+2 \in \mathbb Z/7[x]$ faktoriserar som en produkt av polynom av grad 1 i K[x] och ange denna.

6.

(a)

Avgör om vektorerna (1,2,3,4), (1,-2,3,-4) och $(2,3,-1,-1)\in \mathbb Q^4$ är linjärt beroende. Skriv vektorn (1,9,-4,11) som linjärkombination av de tre givna.

(b)

Samma frågor om element uppfattas som tal i $\mathbb Z/7$.

7.

Matrisen

$$A= \pmatrix{0&7&-6\cr 1& 0&0 \cr0&1&0}$$

har element i $\mathbb Q$. Bestäm en inverterbar matris C och en diagonal matris D, så att A=CDC^-1. Beräkna Aⁿ for alla $n\in \mathbb N$.

8.

Hur många termer får man då man utvecklar $(x_1+x_2+\cdots+x_k)^n$?