Tentamen i MAN011 Aritmetik och algebra, del 2, 99 04 10, kl 8.45-13.45.

1.

Formulera och bevisa faktorsatsen för polynom i K[x], där K är en kropp.

2.

(a)

Formulera och bevisa Eisensteins kriterium för ett primitivt polynom.

(b)

Är p(x)=x¹²+34x⁴+51x³-221 irreducibelt i $\mathbb Q[x]$?

3.

Antag att $g,h\in \mathbb Q[x]$ är relativt prima och att $f\in \mathbb Q[x]$ har lägre grad än gh. Visa att det finns polynom $a,b\in \mathbb Q[x],$ så att

$$\frac{f}{gh}=\frac{a}{g}+\frac{b}{h}$$

där a och b är eller har lägre grad än g respektive h.

4.

Visa att $\mathbb Q(\alpha),$ där $\alpha^4 = 3\alpha-1$ är en kropp och bestäm inversen till $\alpha-1$ i $\mathbb Q(\alpha)$.

5.

Bestäm, om möjligt, en diagonal matris D och en inverterar matris C, så att A=CDC^-1, där A är matrisen

$$A=\left( \begin{array} {rrr} 2& 3& 4\\ 2& 2& 3 \\ 3& 1& 2\end{array} \right)$$

med element i $\mathbb Z/5$.

6.

Ange en så liten kropp K som möjligt, som innehåller $\mathbb Z/5,$så att p(x) = x⁴+2x²+3 faktoriserar som en produkt av polynom av grad 1 i K[x]. Bestäm faktoriseringen.

7.

Bestäm inversen till den formella potensserien $f(x) = 1+2x+x^2+2x^3+x^4+2x^5+\ldots$ i $\mathbb Z/7[[x]]$.

8.

Antag att K är en kropp och att $x^{2}-a\in K[x]$ är irreducibelt. Visa att om $f(x)\in K[x]$ är ett polynom av grad 3 som har ett nollställe i $L=K(\alpha),$ där $\alpha^{2}=a,$ så har det ett nollställe i K.

Efter skrivningstidens slut finns förslag till lösningar på

http://www.math.chalmers.se/Math/Grundutb/GU/MAN011/H98-2/

Skrivningen beräknas vara färdigrättad fredagen den 16 april. Rättade skrivningar återfås på mottagningen för matematik i matematiskt centrum. Mottagningen är öppen måndag till fredag 12.30-13.00.