$\parbox{5cm}{Aritmetik och algebra\\ del 2, VT 98 \\ ~~~~\\ ~~~~}$

Inlämningsuppgift 1

1.

Vilket eller vilka av följande polynom är irreducibla i $\mathbb Q[x]?$

a) x⁴+4x³+4x²+ 5x-2
b) x⁴+3x³+2x²+ x+3
c) x⁵²+91x²⁴+143x¹⁷+ 156x⁴+65

Faktorisera i förekommande fall.

2.

Uppdela följande uttryck i partialbråk med hjälp av polynom i $\mathbb Q[x]:$

$$\frac{2x^5-x^4-7x^3+x^2+9x+2}{x^6-3x^4+4}.$$

3.

Visa att $\mathbb Q(\alpha),$ där $\alpha^{3}=1-3\alpha,$ är en kropp och invertera elementet $1-\alpha+\alpha^{2}.$

4.

Visa att $\mathbb Q(\alpha),$ där $\alpha^{2}=1-3\alpha,$ är en kropp och lös ekvationen

$$x^{2}-(1+\alpha)x-4+11\alpha=0$$

i $\mathbb Q(\alpha).$

Lösningarna ska lämnas till respektive övningsledare senast den 27 april.

Under kursen kommer ytterligare en omgång med fyra inlämningsuppgifter. Man kan få tre poäng per uppgift. Om totala antalet poäng på inlämingsuppgifterna är tolv eller mer får man ett bonuspoäng vid ordinarie tentamen. Har man arton eller mer får man två bonuspoäng.