Taylorpolynom
f( x, y) = xy 2 + x 2 .
Den gröna är grafen till
p ( x, y) =
= 5 + 6( x - 1)( y - 2) +( 1 / 2)( 2( x - 1)2 + 8( x - 1)( y - 2) + 2( y - 2)2)
som är Taylor polynomet av grad 2 till f kring punkten ( 1, 2) .
|
Taylorpolynom |
|
|
|
Graferna till två funktioner illustreras samtidigt i figuren. Den
mångfärgade är grafen till f( x, y) = xy 2 + x 2 . Den gröna är grafen till p ( x, y) = = 5 + 6( x - 1)( y - 2) +( 1 / 2)( 2( x - 1)2 + 8( x - 1)( y - 2) + 2( y - 2)2) som är Taylor polynomet av grad 2 till f kring punkten ( 1, 2) . |
|
Extrempunkter |
|
Grafen till en funktion f över ett begränsat område
i x, y- planet. Funktionen har fyra extremvärden i punkter på randen till området. Den har två extremvärden i punkter i det inre av området. I den ena är funktionen inte deriverbar, i den andra har funktionen en stationär punkt. |
|
|
Kvadratiska former |
|
|
|
|
Den kvadratiska formen x 2 + 3 y 2 (positivt definit). |
Den kvadratiska formen x 2 + x y - 3 y 2 (indefinit). |
|
|
|
Den kvadratiska formen x 2 -6 x y + 9 y 2 (positvt semidefinit). |
Funktionen x 2 -6 x y + 9 y 2 - ( 3 x + y ) 3 har den till vänster som associerad kvadratisk form. |
|
Ett exempel på extrempunkter |
|
|
|
|
Grafen till funktionen
f ( x, y ) = x y e y - x. Funktionen har stationära punkter i ( 0, 0 ) och ( 1, -1 ). |
|
|
|
| Grafen kring punkten ( 0, 0 ). | Q ( x, y ) = 2 x y kring ( 0, -0 ). |
|
|
| Grafen kring punkten ( 1, -1 ). | Q ( x, y ) = 2 e -2 ( x 2 + y 2) kring ( 1, -1 ). |