$\parbox{6cm}{MATEMATIK \\ Göteborgs universitet\\ \\ Skriv namn och personnummer på varje inlämnat papper och på omslaget\\ }$ $\parbox{6cm}{Hjälpmedel: inga\\ Tele: Petter Bränd\'en \\ 0740-35 06 46\\ }$

Tentamen i MAN030 Flervariabelanalys, del 1, 02 03 22, kl 8.45-13.45.

1.

Visa att varje begränsad monoton följd av reella tal är konvergent.

2.

Låt $\mathbf f$ vara en kontinuerlig funktion $D\rightarrow \Bbb R^{m},$ där $D\subset \Bbb R^{n}$. Visa att $\mathbf f(D)$ är kompakt om D är kompakt.

3.

Låt $f(\mathbf x)$ vara en reellvärd funktion av n variabler och $\mathbf a$ en inre punkt i funktionens definitionsmängd. Ange den precisa matematiska definitionen av att

(a)

f är differentierbar $\mathbf a$,

(b)

f är partiellt deriverbar $\mathbf a$.

4.

Lös differentialekvationen

x²f'_x+y²f'_y=y²,

t.ex. genom att införa nya variabler u=1/x-1/y och v=1/y. Bestäm den lösning f som uppfyller att f(x,2x)=x²+1 när x>0.

5.

Motivera att f(x,y)=x²+xy antar ett största och minsta värde i punkter på den kompakta kurvan 2x²+2xy+y²-18=0. Bestäm dessa värden.

6.

Bestäm de lokala extrempunkterna till funktionen f(x,y)=xye^-x-2y.

7.

Funktionen f(x,y) är definierad i hela planet enligt

$$f(x,y)=\left\{ \begin{array} {lcl} xy(x^{2}-y^{2})/(x^{2}+... ... (0,0)\\ 0 & \mbox{ när } & (x,y)=(0,0) \end{array} \right.$$

Visa att f''_xy(0,0) och f''_yx(0,0) existerar, men är olika.

8.

Avgör (motivera noga!) om $f(x,y)=\arctan(xy)/(x^{2}+y^{2}-1)$ är likformigt kontinuerlig

(a)

på $\{(x,y): x^{2}+y^{2}\gt 2\},$

(b)

på $\{(x,y):x^{2}+y^{2}\gt 1\}$.

Efter skrivningstidens slut finns förslag till lösningar på kursens webbsida:

http://www.math.chalmers.se/Math/Grundutb/GU/MAN030/V02-1/

Skrivningarna beräknas vara färdigrättade den 2 april.

JAS