$\parbox{6cm}{MATEMATIK \\ Göteborgs universitet\\ \\ Skriv namn och personnummer på varje inlämnat papper\\ }$ $\parbox{3cm}{Hjälpmedel: inga}$

Dugga 3 i MAN030 Flervariabelanalys del 1, 03 03 07, kl 10.00-10.30.

1. Avgör om det finns en omgivning till (0,1), där funktionen
   
   f(x,y)=(x³y²+xy-1,xy³+x²y+1)
   
   
   är inverterbar.
2. Visa att man i ekvationssystemet
   
   $$\left\{ \begin{array}{rcl} x^{3}y^{2}z&=&1\\ xy^{3}+xyz&=&2 \end{array}\right.$$
   
   
   i närheten av lösningen (1,1,1) kan uttrycka x och z som funktioner av y.
3. Finns det någon kontinuerlig funktion f på
   1. D=[0,1] sådan att $f(D)=[-1,\infty[$?
   2. D=]0,1] sådan att $f(D)=[-1,0[\cup]0,1]$?
   3. D=]0,1[ sådan att f(D)=R?
   Ange i så fall en sådan funktion eller ge ett motiv till att den inte finns.

JAS