Lösningar Tentamen i MAN030 Flervariabelanalys, del 1, 02 08 12.

 


 


 

4. Kedjeregeln ger
   
   $$\begin{array}{rcl} f'_{x}&=&f'_{u}\cdot2ax+f'_{v}\cdot 1\\ f'_{y}&=&f'_{u}\cdot1+f'_{v}\cdot 0 \end{array}$$
   
   
   Väljer vi a=1/2 blir ekvationen därför f'_v=y=u-v²/2, som ger f=uv-v³/6+g(u), där g är en godtycklig deriverbar funktion. Återgång till variablerna x och y ger f(x,y)=(x²/2+y)x-x³/6+g(x²/2+y), vilket i sin tur ger f(x,0)=x³/3+g(x²/2) som alltså ska vara x²+x³/3. Detta leder till g(x²/2)=x². Sätter vi t=x²/2 har vi x²=2t och g(t)=2t. Den sökta lösningen är alltså f(x,y)=(x²/2+y)x-x³/6+2(x²/2+y)=x³/3+x²+xy+2y.
    
   Svar: f(x,y)=(x²/2+y)x-x³/6+g(x²/2+y), där g är en godtycklig deriverbar funktion respektive f(x,y)=(x²/2+y)x-x³/6+2(x²/2+y)=x³/3+x²+xy+2y.

 

5. Funktionen är kontinuerlig på den triangelskivan säm är sluten och begränsad och därmed kompakt. Fuy ktionen antar därför säkert ett största och ett minsta värde. Dessa antas när $\mbox{grad} f=\mathbf 0$ i det inre av skivan eller på skivans rand. Vi söker stationära punkter i det inre och får ekvationssystemet
   
   $$\left\{ \begin{array}{rclcl} 0=f'_{x}&=&4y^{2}+2xy^{2}-... ...{y}&=&2xy+2x^{2}y-3xy^{2}&=& xy(8-2x-3y) \end{array}\right.$$
   
   
   Den andra ekvationen ger x=0, y=0 eller 8-2x-3y=0. Första fallet ger y=0 eller y=4 i första ekvationen. Men (0,0) och (0,4) ligger inte i det inre av skivan. Fallet y=0 ger x godtyckligt i första ekvationen, men ingen punkt (x,0) ligger i det inre av skivan. Fallet 8-2x-3y=0 tillsammans med 4-2x-y=0 från första ekvationen ger y=2 och x=1 och (1,2) ligger i det inre av skivan. Där har vi f(1,2)=4. Vi undersöker nu f längs skivans rand. Den består för det första av punkter (t,0), för det andra av (0,t) och för det tredje av (6-t,t) där t varierar mellan 0 och 6. Vi har f(t,0)=0=f(0,t) och längs den tredje delen av randen f(6-t,t)=4(6-t)t²-(6-t)²t²-(6-t)t³=2t³-12t². Derivering av detta ger 6t²-24t som är 0 när t=0 och när t=4. Bara det andra värdet är intressant. Vi har f(6-4,4)=f(2,4)=-64.
    
   Svar: Största värdet är 4 och minsta är -64.

 

6. Vi ska ha att $\mbox{grad}f(1,1)=(0,0),$ vilket ger systemet
   
   $$\left\{ \begin{array}{rclcl} 0&=&3x^{2}-by&=&3-b\\ 0&=&2ay-bx&=&2a-b\\ \end{array}\right.$$
   
   
   som ger b=3 och a=3/2. Där med är f=x³+3y²/2-3xy. För att avgöra vilket typ av stationär punkt (1,1) är ska vi undersöka den kvadratiska formen Q=f''_xx(1,1)h²+2f''_xy(1,1)hk+f''_yy(1,1)k². Vi har
   
   $$\begin{array}{rcl} f''_{xx}&=&6x\\ f''_{xy}&=&-3\\ f''_{yy}&=&3 \end{array}$$
   
   
   så Q=6h²-6hk+3k²=6(h-k/2)²+(3-6/4)k², som är positivt definit. Punkten (1,1) är därför en lokal minimipunkt.
    
   Svar: a=3/2, b=3 och (1,1) är en lokal minimipunkt till funktionen.

 

7. För att bestämma f'_x(0,0) och f_y(0,0) ska vi beräkna gränsvärdet av
   (f(t,0)-f(0,0))/t=0/t=0 respektive (f(0,t)-f(0,0))/t=0/t=0 när $t\rightarrow 0$. Båda gränsvärdena existerar och är 0. Om f vore differentierbar i origo skullen den även vara kontinuerlig där. Men f(0,0)=0 och f(t,t²)=1/2, när $t\neq 0,$ så f antar värdena 0 och 1/2 i varje omgivning till origo och kan därför inte vara kontinuerlig där.
    
   Svar: f är inte differentierbar.

 

8. Funktionen är kontinuerlig över allt där den är definierad eftersom den är kvot av två kontinuerliga uttryck. Den är inte definierad längs enhetscirkeln. Området $x^{2}+y^{2}\leq 2$ är kompakt och f är kontinuerlig där och därför likformigt kontinuerlig. Allstå är den det även på det mindre området x²+y²<1/2. Om f vore likformigt kontinuerlig på x²+y²<1 skulle den ha en kontinuerlig utvidgning till randen som är enhetscirkeln. Vi undersöker f då $(x,y)\rightarrow (1,0)$. Längs x-axeln har vi f(x,0)=
   $(1-\ln(1+x^{2}))/(1-x^{2})$. När $x\rightarrow 1$ går täljaren mot $1-\ln(2)\neq 0,$ medan nämnaren går mot 0. Funktionen f har alltså inget gränsvärdet när (x,y) går mot (1,0) och kan därför inte utvidgas kontinuerligt till denna punkt. Funktionen är alltså inte likformigt kontinuerlig i området x²+y²<1.
    
   Svar: Funktionen är likformigt kontinuerlig i x²+y²<1/2, men inte i x²+y²<1.