$\parbox{6cm}{MATEMATIK \\ Göteborgs universitet \\ }$ $\parbox{5cm}{Flervariabelanalys, del 1, V03}$

 
Repetitionsuppgifter

 

 
Differentierbarhet och kontinuitet
 

1

Bestäm, om möjligt talet a, så att

$$f(x,y)=\left\{ \begin{array}{rcl} xy^{2}/(x^{2}+y^{2})&\mbo... ...)\neq (0,0)\\ a&\mbox{ när }&(x,y)=(0,0). \end{array}\right.$$

Blir kontinuerlig. Motivera! Blir f(x,y) då också differentierbar i (0,0)?

2

a)	Ange den precisa matematiska definitionen av att f(x) är partiellt deriverbar i a (en inre punkt i f:s definitionsmängd).
b)	Är funktionen $$f(x,y)=\left\{\begin{array}{rcl} x^{2}y/(x^{4}+y^{2})&\mbox... ...neq(0,0)\\ 0 & \mbox{ när } & (x,y)=(0,0)\end{array}\right.$$ partiellt deriverbar i (0,0)?
c)	Ange den precisa matematiska definitionen av att f(<I>x) är differentierbar i <I>a (en inre punkt i f:s definitionsmängd).
d)	Är funktionen i b) differentierbar i (0,0)?

3

Avgör om funktionen

$$f(x,y)=\left\{ \begin{array}{rcl} \displaystyle{\frac{x^{2... ...,y)\neq(0,0)\\ 0&\mbox{ när }&(x,y)=(0,0) \end{array}\right.$$

är differentierbar.

 
Öppna, slutna och kompakta mängder
 

4

Avgör om följande påståenden är sanna eller falska. Motivera ordentligt!

a)	Om den reellvärda funktionen f(t) är kontinuerlig, så är $\{t\,:\,0\leq f(t)\leq 1\}$ kompakt.
b)	Mängden $\{(x,y)\,:\,x^{2}+y^{2}<\cos(2x+y)\}$ är öppen och begränsad.
c)	Mängden $\{\sin t/t\,:\,t\neq 0\}\cup\{1\}$ är sammanhängande.

5

Skissa följande delmängder till planet. Avgör för var och en av dem om den är öppen, sluten, begränsad respektive kompakt (motivering krävs inte!).

a)	$\{(x,y)\,:\,x^{2}+3y^{2}\leq 3\}$
b)	$\{(x,y)\,:\,\vert x\vert\leq 1,\,\vert y\vert<1\}$
c)	$\{(x,y)\,:\,\vert(x,y)\vert<3\}\cup\{(2,2)\}$
d)	$\{(x,y)\,:\,2x<y<2x+1\}$

 
Kedjeregeln och partiella differentialekvationer
 

6

Lös differentialekvationen f'_x-xf'_y=y t.ex. genom att göra variabelbytet u=ax²+y, v=x för lämplig konstant a. Bestäm också den lösning f sådan att f(x,0)=x²+x³/3.

7

Lös differentialekvationen x²f'_x+y²f'_y t.ex. genom variabelbytet u=1/x-1/y och v=1/y.

8

Man vill bestämma en kontinuerligt deriverbar funktion f(x,y), så att nivåkurvorna till denna skär nivåkurvorna till g(x,y)=xy rätvinkligt. Hur ska f se ut (bestäm alla möjliga lösningar)? Man kan ha nytta av variabelsubstitutionen u=x²-y², v=xy.

 
Tangentplan och riktningsderivata
 

9

Bestäm ekvationen för tangenlinjen till kurvan x²+xy+2y²=1 i punkten (1,0).

10

Visa att f_v(0,0) existerar och bestäm dess värde när

$$f(x,y)=\left\{ \begin{array}{rcl} (x^{2}-y^{2})/(x^{2}+y^... ...neq(0,0)\\ 0 & \mbox{ när }& (x,y)=(0,0) \end{array}\right.$$

och v bestäms av (1,1). Avgör om f(x,y) är differentierbar i origo.

11

Bestäm en ekvation för tangentplantet till ytan x³+4x²y+y=z² i punkten (1,0,1).

12

Betäm riktningsderivatan till f(x,y)=x²-xy²+y³ i (1,1) i den riktning som ges av (3,4).

13

Ytorna x²+y²-z²=2 och x+y-2e^z=0 skär varandra i en kurva genom (1,1,0). Bestäm en ekvation för tangentlinjen till kurvan i denna punkt.

 
Taylorutveckling och lokala extemvärden
 

14

Bestäm de lokala extrempunkterna till f(x,y)=xye^-x-2y.

15

Bestäm Taylorpolynomet av ordning två till $f(x,y)=\cos(x)\cos(y)$ kring punkten $(\pi/4,\pi/4)$.

16

Bestäm de stationära punkterna till f(x,y)=x²+2xy+xy² och avgör deras karaktär.

17

Bestäm de stationära punkterna till f(x,y)=x²-x²y+2y² och avgör deras karaktär.

18

Punkten $(1,1/\sqrt{2})$ är en stationär punkt till

$$f(x,y)=\frac{x+y^{2}}{1+x^{2}y^{2}}.$$

Avgör om det är en lokal extrempunkt.

 
Linjär approximation, inversa och implicita funktionssatsen
 

19

Visa att sambandet xe^y+ye^z+ze^x=1 definierar z som en differentierbar funktion i en omgivning till (0,1,0) Bestäm z'_x(0,1) och z'_y(0,1).

20

Visa att sambandet $z(\cos x+\sin y)=0$ definierar z som en funktion av x och y i närheten av (0,0,0), men inte i närheten av $(\pi/4,-\pi/4,1)$.

 
Avbildningsegenskaper hos kontinuerliga funktioner
 

21

Undersök i vart och ett av fallen nedan om det finns en kontinuerlig funktion f så att f(S)=D, när

$$S=\{(x,y)\,:\,0\leq y\leq x\leq 1\} D=\{(u,v)\,:\,u\geq 0,\, v\geq 0,\,u+v\leq 1 \}$$ a)

$$S=\{(x,y)\,:\,0\leq y\leq x\leq 1\} D=\{(u,v)\,:\,u\geq 0,\, v\geq 0,\,u+v<1\}$$ b)

$$S=\{(x,y)\,:\,0\leq y< x\leq 1\} D=\{(u,v)\,:\,u\geq 0,\, v\geq 0,\,u+v\leq 1 \}$$ c)

$$S=\{(x,y)\,:\,0\leq y\leq x\leq 1\} D=\{(u,v)\,:\,u\geq 0,\, v\geq 0,\,u+v<1,\,u\neq v\}$$ d)

Ange i förekommande fall en sådan funktion.

23

Låt $S=\{(x,y)\,:\,x^{2}+y^{2}=1\},$ $D=\{(x,y)\,:\,x^{2}+y^{2}=1,\,y>0\}$ och $M=\{(x,y)\,:\,-1\leq x\leq 1,\,y=0\}$. Undersök om det finns kontinuerliga funktioner som uppfyller följande villkor och ange i förekommande fall en sådan.

a) D=f(S)    b) $D\cup M=f(S)$    c) $S\cup M=f(D)$     d) CS=f(CD), där CS är komplementet till S.

 
Likformig kontinuitet
 

22

Avgör om funktionen $f(t)=\tan t/t$ är likformigt kontinuerlig på intervallet $]0,\pi/4]$.

24

Visa att $f(t)=\ln t$ är likformigt kontinuerlig på $]r,\infty[,$ för varje r>0, men inte på $]0,\infty[$

 
Optimering
 

25

Bestäm det största värde som f(x,y)=x²y antar på ellipsen x²+2y²=1.

26

Motivera att funktionen f(x,y)=4xy²-x²y²-xy³ har ett största och ett minsta värde i triangelytan med hörn i (0,0), (6,0) och (0,6). Bestäm dessa värden!

27

Motivera att funktionen f(x,y)=xy antar ett största och ett minsta värde i det området i planet där $2x^{2}+y^{2}\leq 1$. Bestäm dessa värden.

28

Motivera att f(x,y)=(x+y)/(1+x²+y²) har ett största och ett minsta värde i området som ges av $1\leq x+y\leq 2,$ $0\leq x$ och $0\leq y$. Bestäm också dessa värden.

29

Motivera att funktionen f(x,y)=xy²e^-x2-y2 har ett största och ett minsta värde i området där $x^{2}+y^{2}\leq 2$ och $x\leq 0$. Bestäm dessa värden!

30

Ett företag har två fabriker som producerar kvantieterna q₁ respektive q₂ av en vara. Den samanlagda kostnaden för produktionen ges approximativt av

f(q₁,q₂)=2q₁²+q₁q₂+q₂+500

och företaget vill producera 200 enheter av varan och samtidigt minimera kostnaden för produktionen. Varför är problemet lösbart och hur mycket ska respektive fabrik producera?

31

En biograf har olika biljettpriser för barn och vuxna eftersom de anses olika priskänsliga. Man räknar med att sälja rp_b^-4 och sp_v^-2 barn- respektive vuxenbiljetter när priserna sätts till p_b och p_a. Biografens kostnader är proportionella mot totala antalet sålda biljetter. Hur ska förhållandet mellan priset på barn- och vuxenbiljetter vara för att biografen ska göra största möjliga vinst. Varför är problemet lösbart?

32

Motivera att funktionen f(x,y)=x³-y³ har ett största och ett minsta värde på ellipsskivan $x^{2}/2+y^{2}/4\leq 1$. Bestäm också dessa värden.