$\parbox{6cm}{MATEMATIK \\ Göteborgs universitet\\ \\ Skriv namn och personnummer på varje inlämnat papper och på omslaget\\ }$

$\parbox{6cm}{Hjälpmedel: inga\\ Tele: Sergey Kitaev \\ 0740-35 06 46\\ }$

Tentamen i MAN030 Flervariabelanalys, del 1, 02 06 12, kl 8.45-13.45.

1. 1. Ange den precisa matematiska betydelsen av $\lim_{\mathbf x\rightarrow \mathbf a}f(\mathbf x)=A$.
   2. Ange den precisa matematiska definitionen av att f(x) är kontinuerlig i a.
   
    
   
   3. Visa att f är kontinuerlig i a om f är differentierbar i a.
   
    
   

 

2. Antag att f''_xy och f''_yx existerar och är kontinuerliga i en omgivning till (a,b). Visa att f''_xy(a,b)=f''_yx(a,b).

 

3. Visa att en delmängd M till $\mathbb{R}^{n}$ är kompakt precis när varje punktföljd i M har en konvergent delföljd med gränsvärde i M.

 

4. Lös differentialekvationen xf'_x-yf'_y=xy²-y, t.ex. genom att göra variabelbytet u=xy, v=y.

 

5. Motivera att funktionen f(x,y)=(2-x²-3y²)e^x2+y2 har ett största och ett minsta värde i ellipsskivan $x^{2}+3y^{2}\leq 2$. Bestäm dessa värden!

 

6. Avgör om funktionen
   
   $$f(x,y)=\frac{\cos(xy)-1}{x^{2}+y^{2}}$$
   
   
   är likformigt kontinuerlig. Motivera noga!

 

7. Visa att sambandet xy³=4x³z+z²y² bestämmer y som en funktion av x och z i närheten av punkten (1,2,1). Bestäm också lineariseringen av denna funktion kring punkten (1,1).

 

8. Låt
   
   $$f(x,y)= \left\{\begin{array}{rcl} xy^{2}/(x^{2}+y^{2}) &... ...eq(0,0)\\ 0 & \mbox{ när } & (x,y)=(0,0)\end{array}\right.$$
   
   
   Visa att f'_v(0,0) existerar för varje enhetsvektor v. Är f differentierbar i origo?

 

Efter skrivningstidens slut finns förslag till lösningar på kursens webbsida:

http://www.math.chalmers.se/Math/Grundutb/GU/MAN030/V02-1/

Skrivningarna beräknas vara färdigrättade den 20 juni.

JAS