Att den sökta punkten ligger i det givna planet och ligger så nära den givna punkten som möjligt.
Det verkar handla om ortogonal projektion på ett plan! (Kolla i kompendiets avsnitt 2.2!)  

I figuren har vi också ritat ut origo, som ju ligger i planet!
 
Lösning:
Planet har ekvationen 3x-4y+5z=0. En normal är .

Den sökta punkten P=(x,y,z) ligger på linjen genom den givna punkten

Q=(1,1,1) och med normalen som riktningsvektor. Detta ger att

Punkten P ligger dessutom i planet , vilket ger

3x-4y+5z=3(1+3t)-4(1-4t)+5(1+5t) = 4+50t = 0

Alltså är t=-4/50 = -2/25. Sätter man in detta värde får man

x = 1+3(-2/25) = 0.76,
y = 1-4(-2/25) = 1.32,
z = 1+5(2/25) = 0.60

Där har vi svaret: P=(0.76,1.32,0.60).

Innan man släpper lösningen måste man kontrollera varje steg!  
Nej, det var fel normal! Gör ett nytt försök!  
Villkoren innebär att den sökta punkten P skall ligga i planet och att är den ortogonala projektionen av längs normalen till planet!


Hur räknar man ut den ortogonala projektionen av längs normalen?

Den ortogonala projektionen av en vektor längs normalen är vektorn

Alternativ lösning!
Den ortogonala projektionen av längs planets normal är

Den sökta punkten P uppfyller sambandet

Alltså är den sökta punkten P=(0.76,1.32,0.60).
 
I det givna problemet förekommer tre matematiska storheter:
Ett plan och två punkter Q och P.
Det villkor som binder samman dessa är att P är den punkt i som ligger närmast Q.
I problemet är och Q givna medan P söks.

Här kommer ett problem där Q och P är givna medan söks och ett problem där P och är givna medan Q söks!

Extra uppgift 23 (b)
Man vet att punkten (0,1,2) är den punkt i ett plan   som ligger närmast punkten (1,1,1). Vad kan sägas om ?

Extra uppgift 23 (c)
Man vet att punkten (1,1,-1) är den punkt i planet x+2y+3z=0 som ligger närmast punkten Q. Vad kan sägas om Q?

Svar 23 (b) : Planet är x - z = -2
Svar 23 (c) : Punkten Q är inte entydigt bestämd av de givna villkoren, men den måste ligga på linjen

(x,y,z)=(1,1,-1)+t(1,2,3)

 
Eftersom är ett 4-dimensionellt rum, måste varje bas innehålla 4 vektorer.
Det som söks är alltså fyra vektorer i ! Men inte vilka fyra vektorer som helst!
Kolla i Lays bok (sektion 2.9) vad som menas med en bas!
Repetera vilka resultat om baser som finns där!  
En bas i rummet består av fyra vektorer som är linjärt oberoende och spänner upp rummet. Sats 15 i Lays bok (bas-satsen) ger:

En mängd av fyra vektorer, som är linjärt oberoende, bildar en bas i ett fyrdimensionellt rum.

De två vektorer som söks och de två som är givna skall alltså tillsammans bilda en linjärt oberoende mängd!

Dags att tänka efter vad linjärt oberoende betyder! (Kolla i Lays bok (sektion 1.6).  


Fyra vektorer är linjärt oberoende om den enda linjärkombination av dem som ger nollvektorn är den triviala linjärkombinationen där alla vikterna är noll.

Detta innebär att ingen av de fyra vektorerna är en linjärkombination av de andra tre! (Se sats 7 i Lays sektion 1.6.)

Om man har ett antal vektorer i kan man sätta dem som kolonner i en matris A. Kolonnerna är då linjärt oberoende om och endast om systemet bara har den triviala lösningen, vilket betyder att matrisen A har ett pivotelement i varje kolonn! (Se Lays sektion 1.6)  
Vi börjar med att söka en vektor som inte är en linjärkombination av och . Vi söker alltså så att vektorekvationen

inte är lösbar. Matrisen för detta system är

Ser man bara till att har man ett olösbart system!

Vi har alltså massor av olika val! Låt oss då ta något enkelt! Vi tar

Denna metod ser ut att fungera!  
Lösning:

Vi börjar med att sätta och försöker välja så att systemet

saknar lösning! Om så är koefficientmatrisen för detta system

Tar vi har man ett olösbart system! Vi kan till exempel ta .

Hur vet vi nu att våra fyra vektorer ,, och verkligen bildar en bas?  
   

Sätter vi de fyra vektorerna som kolonner i en matris så får vi (som kalkylen ovan visar) en matris som har en pivotelement i varje kolonn. Kolonnerna är alltså en linjärt oberoende mängd i . (Se Lays bok, sektion 1.6.)
Dessutom vet vi att fyra linjärt oberoende vektorer i bildar en bas. (Se Lays bok, sektion 2.9, Sats 15.)

 
Alternativ lösning:
Varje linjärkombination av de båda vektorerna och måsta ha samma första och tredjekoordinater, eftersom och har det. Sätter vi så kan således inte vara en linjärkombination av och . Eftersom dessa tre vektorer har samma andra och fjärdekoordinat måste alla linjärkombinationer av dem ha samma egenskap. Väljer vi så har vi en fjärde vektor som inte är en linjärkombination av de tre andra. Vektorerna ,, och är därför linjärt oberoende och bildar alltså en bas i !

Svar: är en bas med de efterfrågade egenskaperna.  
Ja, den enda information som gavs (två givna vektorer i ett fyrdimensionellt rum) har ju använts!  
Tänk efter en gång till. Vilken information skulle inte ha använts?  
Ja, det finns oändligt många korrekta svar!  
Jo, det finns oändligt många svar. Se tillbaka på lösningen så der du det!  
Extra uppgift 29 (b)
Finn alla baser i som innehåller vektorerna (1,1,1) och (1,-1,1). Kan du finna en geometrisk lösning?

Extra uppgift 29 (c)
Finn alla baser i som innehåller (1,1,1,1) och (1,-1,1,-1).

Svar: 29 (b) (1,1,1), (1,-1,1),  (a,b,c)  där a och c är olika!
Svar: 29 (c)
där .

 
Det finns en definition av att en matris är inverterbar. Den hittar du i Lays bok, sektion 2.2.

Det finns också massor av likvärdiga (ekvivalenta) egenskaper!
Sats 7 i sektion 2.2 (som handlar om ekvationssystem),
sats 8 i sektion 2.3 (som handlar om ekvationssystem och matrisens kolonner),
sats 4 i sektion 3.2 (som handlar om determinanter)
en sats om egenvärden i sektion 5.1.

Man kan bli knäckt för mindre!
 
Definitionen: En kvadratisk matris A är inverterbar om det finns en matris C så att AC=I och CA=I. (Matrisen C kallas inversen till A.)

En kvadratisk matris A är inverterbar om och endast om ekvationssystemet bara har den triviala lösningen .
(Lay sektion 2.3, Sats 8 (d).)

En kvadratisk matris A är inverterbar om och endast om .
(Lay sektion 3.2, Sats 4.)

En kvadratisk matris A är inverterbar om och endast om talet 0 inte är ett egenvärde till A.
(Lay sektion 5.1, Satsen som föregår Sats 2.)  
Det gäller alltså att finna en matris C sådan att AC=I och CA=I. Den enda information vi har är att A3 - A + I = 0.
Hur skulle då C se ut?

Jo, om AC=I så är AC-I=0. Vi får då två samband:

Adderar vi dem får vi AC+A3-A=0 dvs

AC=A-A3=A(I-A2)

Då skulle vi alltså ha C=I-A2. Där har vi alltså inversen!

Nu kan vi skriva ner en lösning!
Lösning:
Antag att A3 - A + I = 0 det vill säga A-A3=I. Vi skall visa att A är inverterbar genom att beskriva dess invers!

Sätt C=I-A2. Då är AC=A(I-A2)=A-A3=I och CA=(I-A2)A=A-A3=I. Alltså är A inverterbar med inversen C=I-A2.
 
Antag att A3 - A + I = 0 det vill säga I=A-A3.
Vi skall visa att A är inverterbar genom att visa att systemet bara har den triviala lösningen!.

Antag att . Då gäller .

Alltså är . Systemet har alltså endast den triviala lösningen! VSB.
 
Antag att A3 - A + I = 0, det vill säga I=A-A3.
Vi skall visa att A är inverterbar genom att visa att .

Likheten I=A-A3 ger att .Produktformeln för determinter (Lay Sats 6 i sektion 3.2) ger att

Men då måste . VSB

OBS: Det är BIG ERROR att av skriva . Någon sådan räkneregel för determinater finns inte!  
Antag att A3 - A + I = 0.
Vi skall visa att A är inverterbar genom att visa att A inte kan ha egenvärdet noll .

Låt vara ett egenvärde till A och en motsvarande egenvektor. Då är och .
Eftersom får vi

Detta ger att . Alltså är .VSB  
Extra uppgift 30 (b)
Antag att A är en kvadratisk matris sådan att A3 = 0. Visa att I-A är inverterbar och bestäm dess invers!

Extra uppgift 30 (c)
En matris A har n olika egenvärden och uppfyller ekvationen A2-3A+2I=0. Vad kan sägas om n?

Svar: 30 (b) Inversen är I + A + A 2
Svar: 30 (c) n=2