Att lösa matematiska problem!

Problemlösning är inte en process. Det är alltså inte en framskridande aktivitet: först tar man steg 1, sedan steg 2 osv.

I matematik finns visserligen algoritmer, alltså räknescheman där man följer en på förhand känd väg steg för steg. Algoritmer ingår ofta i lösningen av ett problem, men problemlösning omfattar nästan alltid mycket mer.

Lösningen av ett matematiskt problem innehåller ofta en inventering av vilka relevanta verktyg som står till förfogande. Ett matematiskt verktyg kan vara just en algoritm. Det kan också vara en defintion, en sats eller ett liknande exempel som man har sett lösningen på osv. Men hur vet man vilka verktyg som är relevanta? Hur vet man hur man skall använda dem?

Man lyckas sällan lösa problem genom att tillämpa en någon slags checklista så att man har löst problemet när man har bockat av alla rutor på listan.

Bättre än att undra över hur man skall bära sig åt för att lösa matematiska problem är att söka efter vilka frågor man bör ställa sig medan man arbetar med problemet. Det finns några enkla och naturliga frågor som kan hjälpa problemlösaren att komma framåt och att stegvis utveckla sin matematiska förståelse och sin problemlösningsförmåga.

Här följer några exempel på sådana frågor grupperade kring fyra huvudrubriker:

Förstå problemet.  Planera en lösning.  Utarbeta en lösning.  Se tillbaka och framåt.

Det är inte givet att man skall ställa dessa frågor i denna ordning. Man kan mycket väl börja med att tänka efter om man tidigare sett ett liknande problem. Tror man att man vet hur man skall lösa problemet kan man ju pröva att direkt utarbeta lösningen. Man upptäcker kanske att det inte fungerar som man hoppades men då får man ändra taktik. Vi börjar dock med den första rubriken.
 

Förstå problemet.

För att förstå problemet måste man fokusera på vad som söks!  Fråga dig "Vad är obekant?" .
För att bestämma det som är obekant måste du använda uppgiftens information. Fråga dig "Vad är känt ?", eller "Vilka är villkoren ?"
Man kan analysera villkoren genom att ställa frågor i stil med "Är villkoren tillräckliga för att bestämma det som är obekant ?" eller "Är några av villkoren överflödiga ?".
Tänk efter om du kan dela upp villkoren i separata delar! "Hur mycket kan sägas om det obekanta om bara delar av villkoren gäller ?"
Om det är ett geometriskt problem är det naturligt att rita en figur -- rita i så fall en principskiss snarare än en exakt figur. Men figurer kan användas i andra sammanhang också. Inför beteckningar och skriv ner villkoren med hjälp av dina beteckningar. Använd ett kladdpapper för att skriva ner allt du kommer att tänka på, utan att tänka på ordningen.
"Har jag sett en liknande uppgift förut ?" Kanske har du sett ett problem med samma obekanta.
"Vilka definitioner och satser ur kursen verkar ha med problemet att göra ?" Kursens satser och definitioner syftar ju til att sätta strålkastarljuset på viktiga begrepp och samband. Tänk igenom och skriv gärna upp relevanta definitoner och satser ur kursen!
 

Planera en lösning.

Här ar ett liknande problem som du har sett lösningen till. "Kan jag använda lösningen ?" " Kan jag använda samma metod ?"
" Kan jag använda samma beteckningar ?"
Inför beteckningar! Välj då helst beteckningar som liknar dem du sett användas i liknande sammanhang. Försök använda liknande problem som mall för lösningen. Fråga dig " Behöver jag införa någon hjälpvariabel?"
Om du inte finner någon bra idé fråga "Finns det ett liknande enklare problem som går att lösa ?"  Förenkla uppgiften genom att modifiera villkoren eller välja enklare siffor!
"Kan jag lösa ett specialfall ?"  Tag ett exempel!
"Är det kanske lättare att lösa ett generellare problem ?" Ibland kan ett mer allmänt problem vara lättare att komma åt därför att man då måste reneodla villkoren.
" Kan jag ändra på villkoren eller det som är givet så att problemet går att lösa  ?"  Försök i så fall finna en brygga till det givna problemet!
"Går det att formulera om problemet så att det blir mer likt problem som jag kan lösa ?"
 
 

Utarbeta en lösning.

När du försöker utarbeta lösningen fråga dig efter varje steg "Kan jag kontrollera att det är rätt så här långt ?"
Försök formulera din lösning i termer av de begrepp som kursen handlar om! Tänk efter om du direkt kan använda en sats ur kursen! När du kommit fram till ett svar, kontrollera detta på olika sätt ?
"Har jag verkligen gett ett svar på det givna problemet ?"  Ett vanligt fel är att man har löst ett helt annat problem än det givna!
"Uppfyller mitt svar verkligen uppgiftens villkor ?"  Kanske uppfyller ditt svar inte alla villkoren! Kanske är svaret alltför begränsat--fler svar är korrekta!
"Har jag använt all information som gavs i problemet ?" Det är lätt hänt att man missar någon viktig detalj!
Om du märker att din plan inte fungerar som du hoppades, försök ändå driva den vidare och se om du kan finna en lösning, även om den kanske är klumpig. Var samtidigt beredd att överge planen om du märker att du inte närmar dig en lösning, men släng inte försöket. Det är kanske bara någon detalj som gått snett!
 

Se tillbaka och framåt.

Kontrollera först din lösning steg för steg. Försök kontrollera svaret. Tänk efter om du verkligen har löst det givna problemet. Kontrollera alla dina argument! Fråga dig sedan "Kan jag komma fram till samma resultat på något annat sätt ?" Du kanske kan se det direkt!
Skriv ned en andra version av din lösning och försök slipa argumenten så att de blir så klara och enkla som möjligt. Formulera dig gärna i ord så mycket som möjligt!
Fråga dig sedan "Kan jag komma fram till resultatet på ett mera systematiskt sätt." Kanske du kan använda en annan metod, eventuellt en metod som är mer generelll.
Gå tillbaka till andra liknande problem som du har löst! Tänk efter om du nu kan lösa något av dem på ett annat (kanske bättre) sätt!
Kan du lösa andra problem med samma metod! Eller kan du använda resultatet ?
 

Kommentar: Denna text är inspirerad av en bok av den ungerske matematikern G. Polya. Bokens engelska titel är How to solve it.