Många matematiska termer är direkta försvenskningar av motsvarande engelska ord. Ordlistan upptar i huvudsak bara sådana ord som skiljer sig åt i svenska jämfört med engelska.

Algorithm (eng)
algoritm, räkneschema (sv)

Ordet har sin ursprung i ett felaktigt uttal av namnet på en framstående arabisk matematiker omkring 850, som beskrev räknescheman för att lösa vissa algebraiska ekvationer. Från samme författare kommer ordet "algebra" - ungefär bokstavsräkning.

Angle(eng)
vinkel (sv)

Vinkeln $\theta$ mellan två vektorer ${\mathbf u}$ och ${\mathbf v}$ ges av sambandet

\begin{displaymath} {\mathbf u} \cdot {\mathbf v} = \vert{\mathbf u}\vert \vert{\mathbf v}\vert \cos{\theta}\end{displaymath}

Här är produkten på höger sida skalärprodukten (inner product) mellan vektorerna och $ \vert{\mathbf u}\vert$ är längden av ${\mathbf u}$.

Augmented matrix (eng)
totalmatris, utvidgad matris(sv)

Ordet "augmented" betyder ungefär "utvidgad", men på svenska brukar man tala om resultatet av utvidgningen, nämligen totalmatrisen. Om

\begin{displaymath} A{\mathbf x} = {\mathbf b} \end{displaymath}

är ett linjärt ekvationssystem kallas $\ A \ $ systemets koefficientmatris och matrisen

\begin{displaymath}[A \ \ {\mathbf b}]\end{displaymath}

kallas systemets totalmatris.

Auxiliary (equation)(eng)
hjälpekvation(sv)

Om man vill lösa ekvationen $ \ x^4-3x^2+2=0 \ $ kan man till exempel sätta $\ z=x^2 \ $ och först lösa hjälpekvationen $\ z^2-3z+2=0 \ $ och sedan lösa $ \ x^2=z $.

Backward (phase) (eng)
bakåtfas (sv)

Radreduceringsalgoritmen består av två faser, framåtfasen och bakåtfasen. I framåtfasen räknar man uppifrån och ned, i bakåtfasen nedifrån och upp. Framåtfasen ger trappstegsmatris, bakåtfasen ger sedan en reducerad trappstegsmatris.

Bakåtfasen syftar till att ge en fullständig beskrivning av ett linjärt ekvationssystems alla lösningar.

Basic variable (eng)
basvariabler (sv)

De variabler vars nummer överenstämmer med nummerna på pivotkolonnerna i ett linjärt ekvationssystems koefficientmatris.

Basis (eng)
bas (sv)

En bas för ett underrum $ \ H \ $ (eller ett linjärt rum $ \ H \ $) är en linjärt oberoende mängd som spänner upp rummet. Mängden $\{ {\mathbf b}_1, ..., {\mathbf b}_n \}$ en bas om

Belongs to (eng)
tillhör (sv)

Ett tal (en vektor) tillhör en given mängd om talet (vektorn) är ett av mängdens element. Symbolen $\in$ används för att beskriva att ett element tillhör en given mängd. Exempel: om $ \ M \ $ är mängden av alla positiva heltal gäller

\begin{displaymath} 2 \in M\end{displaymath}

Change of basis (eng)
basbyte(sv)

I ett linjärt rum (till exempel ett underrum i ${\Bbb R}^n$) med dimension $ \ d \ $ har alla baser $ \ d \ $ stycken vektorer, men det finns alltid flera olika baser. Om $ {\mathcal A }= \{ {\mathbf a}_1, ..., {\mathbf a}_d \} $ och $ {\mathcal B} = \{ {\mathbf b}_1, ..., {\mathbf b}_d \} $ är två baser kan en given vektor ${\mathbf u}$ i rummet skrivas

\begin{displaymath} {\mathbf u}= x_1 {\mathbf a}_1 + .... + x_d {\mathbf a}_d\end{displaymath}

Här är $ \ x_1, .... , x_d \ $ koordinaterna för ${\mathbf u}$ i basen $ {\mathcal A } $. Men eftersom $ {\mathcal B}$ också är en bas kan vi även skriva och

\begin{displaymath} {\mathbf u}= y_1 {\mathbf b}_1 + .... + y_d {\mathbf b}_d\end{displaymath}

där då $ \ y_1, .... , y_d \ $ är koordinaterna för ${\mathbf u}$ i basen $ {\mathcal B}$. Man kan beskriva situationen genom att säga att man har bytt bas. Först beskrev man ${\mathbf u}$ i $ {\mathcal A } $-basen och bytte sedan till den andra basen. Samtidigt måste man då byta koordinater-från ${\mathbf x}$-koordinaterna till ${\mathbf y}$-koordinaterna. Det finns en matris $ \ M \ $ beskriver hur koordinatbytet går till med hjälp av formeln $ {\mathbf y}= M {\mathbf x}$.

Colinear (vectors) (eng)
parallella (vektorer)(sv)

Två vektorer ${\mathbf u}$ och ${\mathbf v}$ är parallella om den ena är en multipel av den andra, alltså

\begin{displaymath} {\mathbf u}=k{\mathbf v}, \ \ \mbox{eller} \ \ {\mathbf v}=k{\mathbf u}\end{displaymath}

Detta är detsamma som att mängden $\{ {\mathbf u}, {\mathbf v} \}$ är linjärt beroende.

Column (vector) (eng)
kolonn (vektor)(sv)

En vektor i ${\Bbb R}^n$ kan antingen skrivas som en radvektor -man skriver koordinaterna i en rad efter varandra- eller i en kolonn-dvs ovan för varandra. Olika beteckningar kan användas, exempelvis som radvektorer

\begin{displaymath} \ (x_1,x_2,...,x_n) \ \end{displaymath}

eller

\begin{displaymath}[x_1\ \ x_2 \ \ ... \ \ x_n]\end{displaymath}

eller

\begin{displaymath} (x_1 \ \ x_2 \ \ ... \ \ x_n)\end{displaymath}

eller som kolonnvektorer

\begin{displaymath} \left[\begin{array} {rr} x_1\ x_2\ ...\ x_n\end{array}\ri... ...left(\begin{array} {rr} x_1\ x_2\ ...\ x_n\end{array}\right)\end{displaymath}

Column space (eng)
kolonnrum(sv)

Kolonnrummet till en $m\times n$-matris A består av alla linjärkombinationer av kolonnerna i A. Det betecknas ${\rm Col}(A)$.

Eftersom en linjärkombination av kolonnerna i $\ A \ $ kan skrivas $A{\mathbf x}$, så består kolonnrummet till $\ A \ $ av alla vektorer ${\mathbf b}$ i ${\Bbb R}^m$ som kan skrivas ${\mathbf b}=A{\mathbf x}$.

Alltså: kolonnrummet till $\ A \ $ är alla ${\mathbf b}$ för vilka ekvationssystemet $A{\mathbf x}={\mathbf b}$ är lösbart.

Pivotkolonnerna i $\ A \ $ utgör en bas för kolonnrummet till A.

Condition (eng)
villkor (sv)

Mängder beskrivs ofta genom att anger vilka speciella villkor som mängdens element måste uppfylla. Exempelvis beskriver $ \ M \ $ är mängden av alla vektorer som är ortogonala mot vektor $ \ (1,2,3) \ $ ett plan genom origo. Samma mängd kan också beskrivas med hjälp av villkoret (ekvationen)

\begin{displaymath} \ x+2y+3z=0\end{displaymath}

Mängden M består alltså av alla $ \ (x,y,z) \ $ som uppfyller ekvationen ovan.

Consistent system (eng)
lösbart system(sv)

En ekvation kan antingen vara lösbar eller olösbar (inconsistent). Det senare innebär att det inte finns någon lösning. Om ekvationen är lösbar kan det antingen ha en entydig lösning (unique solution) eller ha flera lösningar, eventuellt oändligt många. För linjära ekvationer eller linjära ekvationssystem finns bara tre möjligheter: olösbart, entydigt lösbart eller oändligt många lösningar.

Constraint (eng)
restriktion, villkor(sv)

Ordet används för extra villkor (bivillkor) eller restiktioner som begränsar variablers variationsområde. Man kan till exempel vid lösning av ett linjärt ekvationssystem inskränka variablerna till att vara icke-negativa, därför att systemet kommer från en tillämpning där negativa svar är orimliga eller ointressanta. Man talar då om bivillkoren $x_j \geq 0$.

Dimension (eng)
dimension (sv)

Dimensionen av ett linjärt rum (tex. ett underrum i ${\Bbb R}^n$ är antalet vektorer i en bas. (Alla baser måste ha samma antal vektorer!)

Dimensionen av kolonnrummet till en $m\times n$-matris $\ A \ $ är antalet pivotkolonner i $\ A \ $. Detta tal kallas även rangen av $\ A \ $. Man skriver:

\begin{displaymath} {\rm rank}(A) = \dim{{\rm Col}(A)}\end{displaymath}

Dimensionen av nollrummet till en $m\times n$-matris $\ A \ $ är antalet fria variabler. Man har sambandet (rangsatsen)

\begin{displaymath} {\rm rank}(A)+\dim{{\rm Nul}(A)}=n \ \ \mbox{antalet kolonner i} A\end{displaymath}

Distinct (eng)
distinkta, olika (sv)

Två vektorer (exempelvis) är olika, distinkta, om de skiljer sig åt i någon koordinat.

Domain (eng)
definitionsmängd(sv)

Det engelska ordet ``domain'' betyder väl egentligen ``område'' och kan användas i denna allmänna betydelse. Här har ordet översatts till den mer specifika betydelsen ``definitionsmängd''. En funktion (avbildning, transformation) har ett viss mängd som definitionsområde om varje element i mängden kan ``stoppas in'' i funktionen. i den linjära algebran brukar definitionsmängden i regel vara ${\Bbb R}^n$ eller något annat linjärt rum.

Echelon matrix (eng)
trappstegsmatris (sv)

I en trappstegsmatris gäller att
1.
eventuella nollrader (alltså rader som bara består av nollor) står längst ned i matrisen
2.
det ledande talet (det första talet som inte är noll räknat från vänster) i en rad står i en kolonn till höger om det ledande talet i raden ovanför
3.
alla tal under ett ledande tal i en kolonn är noll

Eigenvalue, eigenvector(eng)
egenvärde, egenvektor(sv)

Ett egenvärde till en kvadratisk matris $\ A \ $ är ett tal $\lambda$ så att ekvationssystemet

\begin{displaymath} (A-\lambda I) {\mathbf x}= \bf0\end{displaymath}

har en icke-trivial lösning. Varje icke-trivial lösning kallas en egenvektor till egenvärdet $\lambda$. En egenvektor ${\mathbf x}$ har alltså egenskapen att $A{\mathbf x}$ är parallell med ${\mathbf x}$.

Man kan finna alla egenvärdena till en $n\times n$-matris $\ A \ $ med hjälp av den karakteristiska ekvationen

\begin{displaymath} \det(A-\lambda I) = 0\end{displaymath}

Detta är en n-tegradsekvation. Det finns alltså $ \ n \ $ (lika eller olika, komplexa eller reella) egenvärden till en $n\times n$-matris.

Egenrummet till egenvärdet $\lambda$ är nollrummet för matrisen $A-\lambda I$

Equivalent (eng)
ekvivalent, likvärdig(sv)

Ordet ekvivalent används i många olika sammanhang. Exempelvis sägs två ekvationer vara ekvivalenta om de har samma lösningsmängd. Exempelvis är ekvationerna

\begin{displaymath} \ 2x+3y = 4\ \end{displaymath}

och

\begin{displaymath} \ 6x+9y-12=0 \ \end{displaymath}

ekvivalenta.

Två påståenden är ekvivalenta om de är sanna samtidigt och falska samtidigt.

Man kan använda olika bestämningar för att precisera i vilka avseenden som man har ekvivalens. Exempelvis är två matriser radekvivalenta om den ena matrisen kan överföras i den andra med hjälp av ett ändligt antal elementära radoperationer.

Finite (dimensional) (eng)
ändligt (dimensionell)(sv)

Ett linjärt rum i vilket det finns en bas med ett ändligt antal basvektorer kallas ändligtdimensionellt. Antalet basvektorer är då ett naturligt tal, som kallas rummets dimension. Alla underrum av ett ändligtdimensionellt linjärt rum är andligtdimensinellt, exempelvis alla underrum av ${\Bbb R}^n$.

Forwardward (phase) (eng)
framåtfas (sv)

Radreduceringsalgoritmen består av två faser, framåtfasen och bakåtfasen. I framåtfasen räknar man uppifrån och ned, i bakåtfasen nedifrån och upp. Framåtfasen ger trappstegsmatris, bakåtfasen ger sedan en reducerad trappstegsmatris.

Med hjälp av enbart framåtfasen kan man får information om ett linjärt ekvationssystems allmänna egenskaper-lösbarhet, entydighet m.m.

If and only if (eng)
om och endast om (sv)

Detta betyder precis vad det låter att betyda. Att ett påstående gäller om och endast om ett annat påstående gäller innebär att påståendena är sanna samtidigt och falska samtidigt. Exempelvis gäller (för reella tal) att $ \ x^2=1 \ $ om och endast om $ \ x \ $ tillhör mängden $ \ \{ -1,1 \}$.

Image (eng)
bild (sv)

Om $ \ T \ $ är en transformation (eller avbildning) och ${\mathbf x}$ ligger i definitionsmängden för $ \ T \ $ så kallas $ {\mathbf y}= T({\mathbf x})$ för bilden av $ \ T \ $.

Inconsistent (eng)
olösbart (sv)

Ekvationssystemet $A{\mathbf x}={\mathbf b}$ är olösbart om $A {\mathbf x}\neq {\mathbf b}$ hur man än väljer ${\mathbf x}$.

Inner product (eng)
skalärprodukt(sv)

Skalärprodukten mellan två vektorer ${\mathbf x}=(x_1, ..., x_n)$ och ${\mathbf y}=(y_1, ... , y_n)$ i ${\Bbb R}^n$ definieras genom

\begin{displaymath} {\mathbf x}\cdot {\mathbf y}= x_1 y_1 + ... + x_n y_n\end{displaymath}

Med hjälp av skalärprodukt definieras längd av vektor, vinklar mellan vektorer med mera. Längden av ${\mathbf x}$ är

\begin{displaymath} \vert{\mathbf x}\vert = \sqrt{{\mathbf x}\cdot {\mathbf x}} \end{displaymath}

Vinkeln $\theta$ mellan ${\mathbf x}$ och ${\mathbf y}$ är den vinkel i intervallet $ \ 0 \leq \theta \leq \pi$ som defineras av sambandet

\begin{displaymath} \cos{\theta} = \frac{{\mathbf x}\cdot {\mathbf y}}{\vert{\mathbf x}\vert \vert{\mathbf y}\vert}\end{displaymath}

(om ingen av vektorerna är nollvektorn).

Kernel (eng)
kärna (sv)

Kärnan av en linjär tranformation $ \ T \ $ är mängden av alla vektorer ${\mathbf x}$ sådana att $ \ T({\mathbf x})= \bf0 $, alltså alla vektorer som avbildas på nollvektorn. Om $ \ T \ $ har matrisen $\ A \ $ så är kärnan samma sak som nollrummet för $\ A \ $.

Least square (method) (eng)
minsta kvadratmetoden (sv)

Om det linjära ekvationssystemet $A{\mathbf x}={\mathbf b}$ saknar lösning kan man i stället lösa $ \ A {\mathbf x}= {\mathbf a}\ $, där ${\mathbf a}$ är den vektor i kolonnrummet för $\ A \ $ som ligger närmast ${\mathbf b}$. Varje lösning till $ \ A {\mathbf x}= {\mathbf a}\ $ kallas en minsta kvadrat-lösning till det (olösbara) systemet $A{\mathbf x}={\mathbf b}$.

Minsta kvadratmetoden är en vida använd metod att utjämna mätfel!

Linearly (in)dependent(eng)
linjärt (o)beroende(sv)

Det kanske viktigaste begreppet i linjär algebra. En mängd $\{{\mathbf u}_1, ..., {\mathbf u}_p \}$ är linjärt beroende om det finns en viktad summa så

\begin{displaymath} c_1{\mathbf u}_1+ ... + c_p{\mathbf u}_p = {\mathbf 0}\end{displaymath}

där minst en av vikterna $ \ c_1$,...,$c_p \ $ inte är noll. Det motsatta begreppet-linjärt oberoende-innebär att vektorekvationen

\begin{displaymath} x_1{\mathbf u}_1+ ... + x_p{\mathbf u}_p = {\mathbf 0}\end{displaymath}

bara har den självklara (triviala) lösningen

\begin{displaymath} \ x_1= ... =x_p=0 \ \end{displaymath}

Linear span (eng)
linjärt hölje (sv)

Givet en (ändlig) mängd av vektorer $ \ {\mathbf v}_1, ..., {\mathbf v}_p \ $så består det linjära höljet av alla viktade summor (linjärkombinationer) av de givna vektorerna, alltså av alla summor av formen

\begin{displaymath} c_1 {\mathbf v}_1 + ... + c_p {\mathbf v}_p\end{displaymath}

Här får koefficienterna (vikterna) $ \ c_1, ..., c_p \ $ variera fritt över alla tal. Det linjära höljet betecknas

\begin{displaymath} {\rm Span}\{ {\mathbf v}_1, ..., {\mathbf v}_p \}\end{displaymath}

Lower triangular (eng)
nedre triangulär (sv)

En nedre triangulärmatris $ \ L \ $ har egenskapen att elementet på plats $ \ r,k \ $ är noll om $ \ r<k \ $. Så här ser en nedre triangulär matris alltså ut:

\begin{displaymath} L=\left[\begin{array} {rrrrrr} \ * & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 ... ...ldots & * & 0 \ \ * & * & * & \ldots & * & *\end{array}\right]\end{displaymath}

Här markerar $ \ * \ $ element som eventuellt inte är noll.
Produkten av två nedre triangulärmatriser är en nedre triangulärmatris.

Mapping (eng)
avbildning, transformation (sv)

Avbildning, transformation, funktion är ord som i princip betyder samma sak-en regel som till varje ``input'' av ett visst slag ordnar ett bestämr ``output''. Se vidare ordet ``Transformation''.

Necessary (condition) (eng)
nödvändigt (villkor) (sv)

Ett nödvändigt villkor är ett villkor som måste vara uppfyllt i en viss situation. Om $ \ P \ $ är en utsaga så är utsagan $ \ N \ $ ett nödvändigt villkor för $ \ P \ $ om $ \ N \ $ måste vara sann ifall $ \ P \ $ är sann. Att $ \ P \ $ gäller medför alltså att $ \ N \ $ gäller. Med implikationspilar : $P \Rightarrow N$.

Non-singular (eng)
inverterbar, icke-singulär (sv)

En kvadratisk matris $\ A \ $ är inverterbar om det finns en matris $\ C \ $ så att $ \ C=I \ $ och $ \ CA=I \ $ . Matrisen $\ C \ $ är entydigt bestämd och skrivs $ \ A^{-1} \ $.
Att $\ A \ $ är inverterbar är detsamma som att kolonnerna i A är linjärt oberoende, eller, alternativt, att den homogena ekvationen $A{\mathbf x}=\bf0 $ bara har lösningen $ {\mathbf x}= \bf0 \ $ (den triviala lösningen).

Nullspace (eng)
nollrum (sv)

Nollrummet till en matris $m\times n$-matris A mängden av alla lösningar till den homogena ekvationen

\begin{displaymath} A {\mathbf x}= \bf0\end{displaymath}

Nollrummet är ett underrum av ${\Bbb R}^n$ och betecknas ${\rm Nul}(A)$.

Man finner en bas för nollrummet genom att lösa systemet $A{\mathbf x}=\bf0 $ och skriva lösningarna på vektorform där de fria variablerna uppträder som koefficienter framför vissa vektorer. Dessa utgör då en bas för nollrummet.

Nollrummets dimension är antalet fria variabler.

One-to-one (eng)
injektiv, en-entydig (sv)

En avbildning $ \ T \ $ är injektiv om $T({\mathbf x})=T({\mathbf y})$ medför att $ {\mathbf x}= {\mathbf y}$. Två olika ``input'' kan alltså inte ha lika ``output''.

Onto (eng)
surjektiv, på (sv)

En avbildning är en surjektiv avbildning från en viss mängd $ \ D \ $ till en mängd $ \ V \ $ om varje $ {\mathbf y}\in V$ är bild av något ${\mathbf x}\in D$, (alltså $ {\mathbf y}= T({\mathbf x})$)

Overdetermined (eng)
överbestämt (sv)

Ett linjärt ekvationssystem är överbestämt om det innehåller fler ekvationer än obekanta. Det finns en risk att ett överbestämt system saknar lösning, genom att det kan innehålla ekvationer som strider mot varandra. Ett överbestämt system kan emellertid mycket väl vara lösbart med entydig lösning eller med oändligt många lösningar.

Range (eng)
värdemängd (sv)

Värdemängden av en transformation är mängden av alla möjliga bilder. Om transformationen (funktionen) är $ \ F \ $ så består värdemängden av alla $ {\mathbf y}= F({\mathbf x})$ man kan få genom att låta ${\mathbf x}$ variera fritt i transformationens definitionsmängd. Om $ \ F \ $ är en linjär avbildning med standardmatrisen $\ A \ $ så är värdemängden det linjära höljet av kolonnerna i $\ A \ $.

Rank (eng)
rang (sv)

Rangen av en matris $\ A \ $ är dimensionen av matrisens kolonnrum. Det är samtidigt antalet pivotkolonner i $\ A \ $.

Den så kallade rangsatsen säger att summan av matrisens rang och dimensionen av dess nollrum är lika med antalet kolonner i matrisen.
Detta uttrycker bara det näst intill självklara faktum att antalet pivotkolonner plus antalet fria variabler är lika med antalet kolonner i matrisen.

Se vidare ordet ``dimension''.

Reduced echelon matrix (eng)
reducerad trappstegsmatris (sv)

I en reducerad trappstegsmatris gäller att
1.
eventuella nollrader (alltså rader som bara består av nollor) står längst ned i matrisen
2.
det ledande talet (det första talet som inte är noll räknat från vänster) i en rad står i en kolonn till höger om det ledande talet i raden ovanför
3.
alla tal under ett ledande tal i en kolonn är noll
4.
alla tal över ett ledande tal i en kolonn är noll
5.
varje ledande tal är en etta

Row space (eng)
radrum (sv)

Radrummet till en matris är det linjära höljet av matrisens rader. Om vi har en $m\times n$-matris så är radrummet ett underrum av ${\Bbb R}^n$ (liksom matrisens nollrum). Dimensionen av radrummet är lika med matrisens rang.

Satisfy (eng)
satisfiera, uppfylla (sv)

En vektor eller ett tal satisfierar en ekvation om ekvationens likhet gäller när man stoppar in vektorn eller talet.
Exempelvis satisfierar talet $\ 4 \ $ ekvationen $ \ x^2=16 $.

En vektor ${\mathbf v}$ satisfierar matrisekvationen $A{\mathbf x}={\mathbf b}$ om $A{\mathbf v}={\mathbf b}$.

Set (eng)
mängd (sv)

En mängd är en samling objekt av ett visst slag-till exempel en samling vektorer. Om mängden består av ändligt många objekt (element) kan man beskriva mängden med en lista, till exempel $\{{\mathbf v}_1,{\mathbf v}_1,...,{\mathbf v}_9\}$. Man placerar alltså mändgens element inom mängdklammrarna $\{$ och $\}$.

En mängd kan också beskrivas genom att man anger villkor som elementen måste uppfylla. Alla lösningar till ett linjärt ekvationssystem $A{\mathbf x}={\mathbf b}$ utgör en mängd. Denna mängd kan skrivas

\begin{displaymath} \{{\mathbf x}: A{\mathbf x}= {\mathbf b}\}\end{displaymath}

Kolonet betyder ``så att''-mängden av alla ${\mathbf x}$ så att $A{\mathbf x}={\mathbf b}$.

Om man vill specifiecera att ${\mathbf x}$ ligger i ${\Bbb R}^n$ kan man skriva

\begin{displaymath} \{{\mathbf x}\in {\Bbb R}^n : A{\mathbf x}= {\mathbf b}\}\end{displaymath}

Alltså-mängden av alla ${\mathbf x}$ i ${\Bbb R}^n$ så att $A{\mathbf x}={\mathbf b}$. Symbolen $\in$ säger alltså att ${\mathbf x}$ ligger i ${\Bbb R}^n$ eller tillhör ${\Bbb R}^n$.

Singular (eng)
icke-inverterbar, singulär (sv)

En kvadratisk matris är singulär om den inte är inverterbar. Det är detsamma som att kolonnerna i A är linjärt beroende, eller, alternativt, att den homogena ekvationen $A{\mathbf x}=\bf0 $ har en icke-trivial lösning, dvs en lösning med åtminstone någon koordinat $\neq 0$.

Solution(eng)
lösning(sv)

En lösning till en ekvation är ett tillåtet tal eller en tillåten vektor som uppfyller ekvationens villkor. Om vi arbetar med reella tal har ekvationen $ \ x^2+1 = 0 \ $ inte någon lösning. Accepterar vi däremot komplexa tal har ekvationen lösningarna $ \ \pm i \ $. Matrisekvatioenen $ \ X^2 = I \ $ har oändligt många lösningar!

Solution set(eng)
lösningsmängd(sv)

Lösningsmängden till en ekvation eller ett ekvationssystem består av alla lösningar till ekvationen (systemet).

Span(eng)
(linjärt) hölje(sv)

Givet en (ändlig) mängd av vektorer $ \ {\mathbf v}_1, ..., {\mathbf v}_p \ $så består det linjära höljet av alla viktade summor (linjärkombinationer) av de givna vektorerna, alltså av alla summor av formen

\begin{displaymath} c_1 {\mathbf v}_1 + ... + c_p {\mathbf v}_p\end{displaymath}

Här får koefficienterna (vikterna) $ \ c_1, ..., c_p \ $ variera fritt över alla tal. Det linjära höljet betecknas

\begin{displaymath} {\rm Span}\{ {\mathbf v}_1, ..., {\mathbf v}_p \}\end{displaymath}

Spanning set (eng)
mängd som spänner upp (sv)

En mängd $ \ {\mathbf v}_1, ..., {\mathbf v}_p \ $ av vektorer spänner upp underrummet $ \ H \ $ om varje vektor i $ \ H \ $ kan skrivas som en linjärkombination av $ \ {\mathbf v}_1, ..., {\mathbf v}_p \ $. Se vidare ordet ``span''.

Submatrix (eng)
delmatris, undermatris (sv)

En delmatris av en större matris erhålles genom att man stryker ett visst antal rader och ett visst (ev annat) antal kolonner ur den större matrisen. Blockmatriser (partioned matrices) är exemepelvis uppbyggda av mindre delmatriser. Till exempel innehåller

\begin{displaymath} X = \left[\begin{array} {rrrrr}1 & 2 & 0 & 0 \ 2 & 4 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 5 & 6 \end{array} \right] \end{displaymath}

delmatrisen (blocket) $A = \left[ \begin{array} {rrr}1 & 2\ 2 & 4 \end{array}\right]$ och hela matrisen kan uppfattas som uppdelad i fyra block

\begin{displaymath} X = \left[\begin{array} {rrr}A & O \ O & B \end{array} \right]\end{displaymath}

Subspace (eng)
underrum, delrum (sv)

Ett underrum $ \ H \ $ (av ${\Bbb R}^n$ eller av ett godtyckligt linjärt rum) är en delmängd som uppfyller tre egenskaper:
1.
Nollvektorn $\bf0$ ligger i $ \ H \ $.
2.
Om man tar två vektorer ${\mathbf u}$ och ${\mathbf v}$ vilka som helst i $ \ H \ $ så kommer deras summa ${\mathbf u}+{\mathbf v}$ ocksä att ligga i $ \ H \ $.
3.
Om $ \ t \ $ är ett godtyckligt tal och ${\mathbf u}$ är en godtycklig vektor i $ \ H \ $ så ligger $t{\mathbf u}$ också i $ \ H \ $.
I ${\Bbb R}^3$ är varje plan genom origo ett underrum, liksom varje linje genom origo.
Om A är en $m\times n$-matris så är kolonnrummet till $\ A \ $ (${\rm Col}(A)$) ett underrum av ${\Bbb R}^m$. Vidare är nollrummet till $\ A \ $ (alltså ${\rm Nul}(A)$) ett underrum av ${\Bbb R}^n$.

Sufficient (condition) (eng)
tillräckligt (villkor) (sv)

Ett tillräckligt villkor är ett villkor som räcker för att garantera att något gäller. Om $ \ P \ $ är en utsaga så är utsagan $ \ T \ $ ett tillräckligt villkor för $ \ P \ $ om $ \ P \ $ måste vara sann ifall $ \ T \ $ är sann. Att $ \ T \ $ gäller medför alltså att $ \ P \ $ gäller. Med implikationspilar : $T \Rightarrow P$.

Trace (eng)
spår (sv)

Spåret av en kvadratisk matris är summan av diagonalelementen. Spåret är samtidigt summan av matrisens alla egenvärden.

Transfer (matrix) (eng)
överföringsmatris (sv)

En matris som överför ett dynamiskt system från ett tillstånd till nästa. Exempel: Antag att man känner befolkningsfördelningen ${\mathbf x}$ mellan stad, förorter och landsbyggd ett visst år. Genom studium av folks flyttvanor kan man prognosticera befolkningsfördelningen nästa år är ${\mathbf y}$ med hjälp av en matris $ \ M \ $ och formeln

\begin{displaymath} {\mathbf y}= M {\mathbf x}\end{displaymath}

Matrisen $ \ M \ $ -överföringsmatrisen - beskriver då den procentuella omflyttningen mellan stad, förorter och landbygd. Efter $ \ n \ $ år kommer befolknongsfördelningen att ges av vektorn $ M^n {\mathbf x}$.

Överföringsmatriser förekommer också i tidkontinuerliga modeller, alltså system av differentialekvationer.

Transformation(eng)
transformation, avbildning(sv)

Ordet transformation (avbildning) betyder i princip samma sak som ordet funktion. En funktion en regel som till varje ``input'' ordnar ett bestämt ``output''. Man kan se en funktion som en svart låda. Man stoppar in något $ \ x \ $ i lådan. Något händer i lådan och ut kommer något $ \ y \ $. Varje gång man stoppar in ett bestämt $ \ x \ $ så kommer samma $ \ y \ $ ut ur den svarta lådan. Olika input kan ge samma output, men ett och samma input ger alltid samma output. Mängden av alla möjliga input kallas funktionens definitionsmängd. Mängden av alla möjliga output är funktionens värdemängd.

Anledningen till att man använder olika ord som ersättning för ordet funktion är att man vill ge olika associationer. Ofta använder man ordet transformation när värdemängden är en del av definitionsmängden och man tänker på transformationen som en förändring av definitionsmängden. Ett bra exempel är rotation kring origo av alla punkter i planet.

Transpose(eng)
transponat, transponerad(sv)

Om A är en matris kan man bilda en ny matris -transponaten av $\ A \ $- genom att byta rader mot kolonner. Den transponerade matrisen betecknas $ \ A^T \ $. Dess rader överensstämmer alltså med kolonnerna i $\ A \ $.

\begin{displaymath} A=\left[\begin{array} {rrr}a & b & c \ d & e & f \end{array}\right]\end{displaymath}

\begin{displaymath} A^T=\left[\begin{array} {rr}a & d \ b & e\ c & f \end{array}\right]\end{displaymath}

Underdetermined (eng)
underbestämt (sv)

Ett linjärt ekvationssystem är underbestämt om det innehåller färre ekvationer än obekanta. Om ett underbestämt system är lösbart kommer det alltid att ha oändligt många lösningar.

Unit vector(eng)
enhetsvektor(sv)

En enhetsvektor är en vektor med längden 1. Givet en godtycklig vektor ${\mathbf v} = (v_1,v_2, \ldots , v_n)$ så definieras längden av ${\mathbf v}$ som talet

\begin{displaymath} \vert{\mathbf v}\vert=\sqrt{v_1^2+v_2^2+ \ldots + v_n^2}\end{displaymath}

Om ${\mathbf v}$ inte är nollvektorn kommer

\begin{displaymath} {\mathbf n} = \frac{{\mathbf v}}{\vert{\mathbf v}\vert}\end{displaymath}

att vara en enhetsvektor som är parallell med ${\mathbf v}$.

Unique (eng)
entydig (sv)

En ekvation har en entydig lösning om det finns en enda lösning. För linjära ekvationssystem gäller att systemet antingen inte är lösbart - det finns ingen lösning alls- eller har en entydig lösning eller har oändligt många lösningar. Ett linjärt ekvationssystem kan exempelvis inte har precis två lösningar, vilket däremot en polynomekvation kan ha.

Upper triangular (eng)
övre triangulär (sv)

En övre triangulärmatris $ \ U \ $ har egenskapen att elementet på plats $ \ r,k \ $ är noll om $ \ r\gt k \ $. Så här ser en övre triangulär matris alltså ut:

\begin{displaymath} U=\left[\begin{array} {rrrrrr} * & * & * & \ldots & * & * \... ... \ldots & * & * \ 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & *\end{array}\right]\end{displaymath}

Här markerar $ \ * \ $ element som eventuellt inte är noll.
Produkten av två övre triangulärmatriser är en övre triangulärmatris.

Vector space (eng)
vektorrum (sv)

En mängd på vilken finns definerat addtition mellan mängdens element samt en multiplikation med reella (eller komplexa) tal på ett sådant sätt att en uppsättning naturliga räknelagar gäller för alla mängdens element och alla tal, exempelvis

\begin{displaymath} {\mathbf u}+ {\mathbf v}= {\mathbf v}+ {\mathbf u}\end{displaymath}

\begin{displaymath} t ({\mathbf u}+ {\mathbf v}) = t {\mathbf v}+ t {\mathbf u}\end{displaymath}

Det måste också finnas ett noll-element $\bf0$ så att $ {\mathbf u}+ \bf0 = {\mathbf u}$. Vidare skall det för varje element ${\mathbf u}$ i mängden finnas ett element $-{\mathbf u}$ så att $ {\mathbf u}+ (-{\mathbf u}= \bf0$. Det brukar bli åtta grundläggande räknelagar.

Weight (eng)
vikt (sv)

I en summa av typ $c_1{\mathbf x}_1+ c_2{\mathbf x}_2 + \ldots +c_n{\mathbf x}_n$ kallas koefficienterna $c_1, \ldots, c_n$ för vikter och summan kallas en viktad summa eller en linjärkombination.

Zero (vector) (eng)
noll (vektor) (sv)

Nollvektorn (i ${\Bbb R}^n$) är den vektor vars alla koordinater är noll. Analogt är nollmatrisen (av en given storlek) den matris vars alla element är noll.