Lösning till MAN500, Differentialgeometri, 00 04 17

1.

(a)

Låt $\alpha$ vara en glatt kurva på S, sådan att $\alpha(0)=p$. Då är $\alpha'(0)$ en tangentvektor till S i p.

(b)

Låt $\mathbf x:U\rightarrow S$ vara en lokal pramterisering av S kring p, med $\mathbf x(q)=p$.

En glatt kurva $\alpha$ i $\mathbf x(U),$ kan då skrivas $\alpha=\mathbf x\circ \beta,$ för en glatt kurva $\beta(s)=(u(s),v(s))$ i U med $\beta(0)=q$. Kedjeregeln ger att $\alpha'(0)=u'(0)\mathbf x_{u}(q)+v'(0)\mathbf x_{v}$. Detta visar att tangentvektorer till S i p är linjärkombinationer av vektorerna $\mathbf x_{u}(q)$ och $\mathbf x_{v}(q)$.

Om vi väljer $\beta(s)=q+s(a,b),$ ser vi att $\alpha'(0)=a\mathbf x_{u}(q)+b\mathbf x_{v},$ så att alla linjärkombinationer är tangentvektorer, så T_p(S) är ett linjärt delrum till $\mathbb R^{3}$. Eftersom $\mathbf x_{u}(q)$ och $\mathbf x_{v}(q)$ är linjärt oberoende har tangentrummet dimension 2.

(c)

$df_{p}(\alpha'(0))=(f\circ \alpha)'(0)$.

(d)

Låt $U\subset \mathbb R^{3}$ vara den öppna delmängden till $\mathbb R^{3},$ som består av hela rummet utom planen $z=\pm 1$. Funktionen $F:U\rightarrow R^{3},$ $F(x,y,z)=((x^{2}-y^{2})/\sqrt{1-z^{2}},2xy/\sqrt{1-z^{2}},z)$ är uppenbart glatt och restringerar till f på S. Observera att (vi utnyttjar att x²+y²+z²=1)

$$(x^{2}-y^{2})^{2}/(1-z^{2})+4x^{2}y^{2}/\sqrt{1-z^{2}}+z^{2}= (x^{2}+y^{2})^{2}/(1-z^{2})+z^{2}=1-z^{2}+z^{2}=1,$$

så att $f(S)\subset S$. Därmed är f glatt.

En normal till tangentrummet i p ges av (1,0,0), så $\mathbf w_{1}=(0,1,0),$ $\mathbf w_{2}=(0,0,1)$ är en bas för tangentrummet.

Vi har att Jacobis matris för dF ges av ($A=\sqrt{1-z^{2}}$)

$$\left( \begin{array} {rrr} 2x/A & -2y/A & z(x^{2}-y^{2})/A... ...\ 2y/A & 2x/A & 2xyz/A^{3}\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$$

Vi har att $df_{p}(\alpha'(0))=(f\circ\alpha)'(0)=(F\circ \alpha)'(0)=dF_{p}(\alpha'(0))$. Speciellt har vi

$$\begin{array} {rcl} df_{p}(\mathbf w_{1})&=& dF_{p}(\mathbf... ...hbf w_{2})&=& dF_{p}(\mathbf w_{2})=\mathbf w_{2} \end{array}$$

så i basen $\mathbf w_{1},$ $\mathbf w_{2}$ representeras df_p av multiplikation med

$$\left( \begin{array} {rr} 2 & 0\\ 0 & 1 \end{array}\right)$$

som har determinant 2.

2.

(Se kursboken.)

3.

(a)

Tangentvektorn ges av normeringen av

$$\alpha'(s)= \mbox{e}^{s}(\cos(s)-\sin(s),\sin(s)+\cos(s),1)$$

så

$$t(s)=(1/\sqrt{3})(\cos(s)-\sin(s),\sin(s)+\cos(s),1)$$

Normalvektorn ges av normeringen av $\bar{n}(s)=\alpha''(s)-\langle\alpha''(s),t(s)\rangle t(s),$ där

$$\alpha''(s)=\mbox{e}^{s}(-2\sin(s),2\cos(s),1)$$

Detta ger

$$\bar{n}(s)=\mbox{e}^{s}(-\cos(s)-\sin(s),\cos(s)-\sin(s),0)$$

och

$$n(s)=(1/\sqrt{2})(-\cos(s)-\sin(s),\cos(s)-\sin(s),0)$$

(b)

Krökningen ges av $k(s)=\vert\alpha'(s)\times\alpha''(s)\vert/\vert\alpha'(s)\vert^{3}$. Enligt ovan har vi

$$\begin{array} {rcl} \vert\alpha'\vert&=&\sqrt{3}\mbox{e}^{s... ...e}^{2s}\sqrt{6}\\ k(s)&=&\mbox{e}^{-s}\sqrt{2}/3 \end{array}$$

Torsionen ges av $\tau=-\mbox{det}(\alpha',\alpha'',\alpha''')/\vert\alpha'\times\alpha''\vert^{2}$. Vi har

$$\begin{array} {rcl} \alpha'''&=&\mbox{e}^{s}(-2\sin(s)-2\co... ...')&=&2\mbox{e}^{3s}\\ \tau(s)&=&-\mbox{e}^{-s}/3 \end{array}$$

(c)

Mängden $U\subset \mathbb R^{3}$ av punkter där z>0 är öppen. Om $F:U\rightarrow \mathbb R,$ $(x,y,z)\mapsto x^{2}+y^{2}-z^{2}$ är glatt och har gradient (2x,2y,-2z), så är ett reguljärt värde för F. Eftersom S=F^-1(0), är S en reguljär yta.

(d)

Vi sätter $\bar{N}=(x,y,-z)$ och låter Gaussavbildningen N vara normeringen av $\bar{N}$. Den geodetiska krökningen ges av $k_{g}=\mbox{det}(N,\alpha',\alpha'')/\vert\alpha'\vert^{3}$ eller $k_{g}=\mbox{det}(\bar{N},\alpha',\alpha'')/(\vert\bar{N}\vert\vert\alpha'\vert^{3})$. Vi får alltså

$$\begin{array} {rcl} \vert\bar{N}\vert&=&\mbox{e}^{s}\vert(\... ...-3\mbox{e}^{3s}\\ k_{g}&=&\mbox{e}^{-s}/\sqrt{6} \end{array}$$

4.

(a)

Derivering ger

$$\begin{array} {rcl} \mathbf x_{u}&=&(1-u^{2}+v^{2},2uv,2u)\\ \mathbf x_{v}&=&(2uv,1+u^{2}-v^{2},-2v)\\ \end{array}$$

vilket ger

$$\begin{array} {rcl} E&=& 1+u^{4}+v^{4}-2u^{2}+2v^{2}-2u^{2... ...2}+v^{2}),2v(1+u^{2}+v^{2}),1-(u^{2}+v^{2})^{2}) \end{array}$$

Av detta ser vi att $\vert\mathbf x_{u}\times \mathbf x_{v}\vert^{2}=EG-F^{2}=(1+u^{2}+v^{2})^{4},$ så $\vert\mathbf x_{u}\times \mathbf x_{v}\not=0$ och $\mathbf x$ är reguljär.

(b)

Vi har

$$\begin{array} {rcl} \mathbf x_{uu}&=& (-2u,2v,2)\\ \mathbf... ...}&=& (2v,2u,0)\\ \mathbf x_{vv}&=& (2u,-2v,-2)\\ \end{array}$$

vilket ger

$$\begin{array} {rcl} e &=& \langle \bar N,\mathbf x_{uu}\ran... ...athbf x_{vv}\rangle /\vert\bar N\vert= -e=-2.\\ \end{array}$$

Av detta följer

$$\begin{array} {rcl} K &=& (eg-f^{2})/(EG-F^{2})= -4(1+u^{2}... ...2})^{-4}\\ H &=& 2^{-1}(eG-2fF+Eg)/(EG-F^{2})= 0 \end{array}$$

(c)

De asymptotiska kurvorna är av formen $\mathbf x(u(t),v(t)) ,$ där 0=E(u')²+2Fu'v'+G(v')²=2(u'-v')(u'+v'), dvs $v'=\pm u',$ eller $v(t)=\pm u(t)+c,$ där c är en godtycklig konstant.

5.

Låt $\mathbf u$ vara en normal av enhetslängd till planet P. Vi vet att $N\cdot \mathbf u$ är konstant, så $N'\cdot \mathbf u=0$ ($N'=(N\circ \alpha)')$. Låt $\alpha$ vara en båglängdsparametrisering av $C=S\cup P$. Eftersom $\alpha'$ är en tangentvektor till P gäller också $\alpha'\cdot \mathbf u$.

Av detta drar vi slutsaten att $N'\times \alpha'=\phi\mathbf u,$ $\phi$ är den kontinuerliga funktionen $\phi=(N'\times \alpha')\cdot \mathbf u$. Av samma skäl är $N'\times \alpha'=\psi N,$ för någon skalärvärd funktion $\psi$.

Om $\phi(t_{0})\not=0,$ finns det (på grund av kontinuitet) ett $\epsilon\gt,$ så att $\phi(t)\not=0,$ när $t_{0}-\epsilon< t < t_{0}+\epsilon$. Av detta drar vi slutsatsen att $N=\pm \mathbf u,$ för dessa värden på t och speciellt är N'(t₀)=0, vilket strider mot att $\phi(t_{0}) \not=0$. Allstå är $N'\times \alpha'=0,$ och N' och $\alpha'$ linjär beroende, dvs $\alpha'$ är en egenvektor till -dN.

Detta visar att C är en krökningslinje.

6.

Villkoret $\alpha'\cdot \mathbf u=$ konstant ger vid derivering det ekvivalenta villkoret $kn\cdot \mathbf u,$ eller $n\cdot \mathbf u=0$.

Detta är i sin tur ekvivalent med att $\mathbf u=\langle t,\mathbf u \rangle t + \langle b,\mathbf u \rangle b$. Derivering ger $\langle t,\mathbf u \rangle' = \langle kn,\mathbf u \rangle =0$ och $\langle b,\mathbf u \rangle' = \langle \tau n,\mathbf u \rangle =0$, så villkoret är ekvivalent med att x t+y b är konstant, för några konstanter x och y.

Derivering av detta ger

$$0 = (xk+y\tau)n.$$

Villkoret är alltså ekvivalent med att

$$x=-y\tau/k$$

Vi ser att y=0 ger x=0 och $\mathbf u=\mathbf 0,$ vilket strider mot förutsättningarn. Existensen av konstanterna x och y är alltså ekvivalent med att $\tau/k$ är konstant.