- 1.
- Om vi sätter
så är h(p)=0,
när p ligger på helikoiden.
Om å andra sidan h(x,y,z)=0, så är (x/a,y/b) vinlekrät mot
dvs parallell med
.Sätter vi u=z/c betyder detta att
för något
. Detta ger nu att
så att punkten ligger på
helikoiden. Därmed är helikoiden precis h-1(0).
De kritiska punkterna till h är de där
vilket ger
ekvationssystemet 0=h'x=h'y=h'z eller
. De två första ekvationerna
saknar samtidig lösning z, så h saknar kritiska punkter.
Alltså är ett reguljärt värde till h och helikoiden h-1(0)
en reguljär yta.
- 2.
- Funktionen f definierar en glatt avbildning
där U är den öppna delmängd till
där
, eftersom koordinatfunktionerna har kontinuerliga
partialderivator av godtycklig ordning i varje punkt i U.
Det räcker därför att visa att
. Men om vi
i definitionen av helikoiden sätter v=y/(1-z) och u=x/(1-z) ser
vi att
för varje
. Speciellt är
.
- 3.
- Eftersom S2 är g-1(0), där
g(x,y,z)=x2+y2+z1-1 har som reguljärt värde, är en
normal till tangentrummet i p=(x,y,z) parallell med gradienten
till g som är (2x,2y,2z). Vi ser att p är en normal till
tangentrummet Tp(S1)=Tp(S2).
För att visa att v1(p) och v2(p) ligger i tangentrummet
räcker det att visa att de är vinkelräta mot p=(x,y,z). Vi får

För att visa att de är linjärt oberoende kan vi konstatera att

inte är 0, när
. Därmed bildar de en bas för det
tvådimensionella tangentrummet Tp(S1).
För att visa att w1(p) och w2(p) kan man göra på samma sätt
genom att använda att
(från 1)) är en normal till
tangentrummet. Vi väljer i stället, för variationens skull, att
konstatera att 
är en
parametrisering av helikoiden. Vi ser att
är glatt med
öppen i S2. Vidare är den injektiv, för
bestämmer u entydigt i tredje koordinaten och sedan
är
.
Eftersom vi redan vet att S2 är en reguljär yta räcker det att
visa att
är injektiv, eller ekvivalent
för varje
. Vi får

Alltså är
en lokal parametrisering av S2 och n är
en normal till tangentrummet (som spänns av
och
).
Om
har vi

som båda är vinkelräta mot n. För att visa att de utgör en bas
räcker det nu att konstatera att

- 4.
- Eftersom
är restriktion av en glatt
avbildning
där
är den öppna
mängden där
kan vi beräkna dfp(w), genom att
använda Jakobis matris (i standardbasen) för df, där
. Den är
som om vi
sätter
och
blir

När p=(0,1,0) är
och B=0, så

Vidare har vi v1(p)=(1,0,0), v2(p)=(0,0,1), f(p)=(a,b,0),
w1(f(p))=(-a,b,c) samt w2(f(p))=(a,0,0).
Vi får dfp(v1)=(0,b,c)=w1+w2 och
dfp(v2)=(a,0,0)=w2.
Matrisen för dfp relativt de angiva baserna blir därför

- 5.
- För att visa att f är en bijektion ska vi, för varje punkt
på helikoiden, visa att det finns en
entydig punkt (x,y,z) på S1, sådan att
.
Av denna ekvation får vi

Eftersom vi söker lösa problemet så att x2+y2+z2=1 har vi

Använder vi detta och utnyttjar att
ligger på
helikoiden
får
vi

Om vi sätter
, får vi 1-z
=2/(A+1). Inversen till f ges alltså av

Vi ser att detta uttryck definierar en glatt funktion från
till
eftersom koordinatfunktionerna
har kontinuerliga partialderivator av godtycklig ordning. Där med är
restriktionen av denna,
glatt. Eftersom
har vi att f-1 är
glatt, och därmed är f en diffeomorfi.