Lösning till MAN500, Differentialgeometri, 00 08 16

3.

(a)

Om $\beta$ är en reguljär kurva ges krökning och torsion av

$$k_{\beta}=\frac{\vert\beta'\times\beta''\vert}{\vert\beta'\v... ...t}(\beta',\beta'',\beta''')}{\vert\beta'\times\beta''\vert}.$$

Vi har enligt Frenets ekvationer (med $\gamma=t$)

$$\begin{array} {rcl} \gamma' & = & kn\\ \gamma''& = & k'... ...tau b -2kk't-k^{3}n-(k\tau)'b-k\tau^{2}n.\\ \end{array}$$

Detta ger $\gamma'\times \gamma''=-k^{3}b-k^{2}\tau t$ och sen $\mbox{det}(\gamma',\gamma'',\gamma''')=\langle \gamma'\times \gamma'',\gamma'''\rangle=-k'k^{3}\tau - k^{3}k'\tau +k^{3}(k\tau)'=k^{3}(k\tau'-k'\tau)$ och $\vert\gamma'\times \gamma''\vert^{2}=k^{4}(k^{2}+\tau^{2})$.

Vi får alltså att $\gamma$ har krökning och torsion

$$\frac{k^{2}\sqrt{k^{2}+\tau^{2}}}{k^{3}} \mbox{~~~resp.~~~} \frac{k^{3}(-k\tau'+k'\tau)}{k^{4}(k^{2}+\tau^{2})}$$

Vilket visar påståendet i uppgiften.H

(b)

Eftersom $\gamma$ är en kurva på S² räcker det att visa att $\gamma$ är plan precis när $\tau/k$ är konstant. Vi har enligt ovan att $\gamma$ är reguljär (krökningen positiv), så det räcker att visa att kurvans torsion är precis när $\tau/k$ är konstant. Men båda inträffar precis när $(\tau/k)'=0$. Vilket visar påståendet.

4.

(a)

Eftersom f i själva verket är defnerad som en funktion $\mathbb R^{3}\rightarrow \mathbb R^{3},$ med uppenbart glatta koordinatfunktioner, räcker det för att visa att $f:S^{2}\rightarrow S^{2}$ är glatt att |f(p)|²=1 när |p|²=1.

Antag alltså att p=(x,y,z) och att |p|²=1. Vi har då |f(p)|²=((x²-y²)²+4x²y²+z²)/(z⁴-z²+1)= ((x²+y²)²+z²)/(z⁴-z²+1)=((1-z²)²+z²)/(z⁴-z²+1)=1.

Jacobianen df_p av funktionen $f:\mathbb R^{3}\rightarrow \mathbb R^{3}$ ges av matrsen

$$\left( \begin{array} {rrr} 2x/A & -2y/A & -(x^{2}-y^{2})... ... 0 & 0 & 1/A -z(4z^{3}-2z)/(2A^{3})\\ \end{array}\right),$$

där $A=\sqrt{z^{4}-z^{2}+1}$.

Vi väljer nu basen e₁(p)=(y,-x,0) och $e_{2}(p)=e_{1}(p)\times N(p)=(y,-x,0)\times (x,y,z)=(-xz,-yz,x^{2}+y^{2})$ för tangentrummet T_p(S²). Avbildningen df_p (p=(x,y,z)) ger oss följande vektorer i T_f(p)(S²):

$$\begin{array} {rcl} df_{p}(e_{1}(p))&=& (2/A)(2xy,y^{2}-x^{2},0)\\ df_{p}(e_{2}(p))&=&\ldots \\ \end{array}$$

Vi ser att df_p(e₁(p))=2e₁(f(p)). Eftersom e₁ har längd 1, medan df(e₁) har längd 2 kan df_p inte vara en isometri.

Räkningarna ovan förutsätter att $p\not=(0,0,\pm 1).$ I dessa båda fall kan vi välja e₁=(1,0,0) och e₂(0,1,0). Vi har då df(e₁)=(0,0,0), så df_p kan inte ens vara en isomorfi i dessa fall.

5.

(a)

Vi har uq(v)+(1-u)p(v)=(u,v,(1-u)v³/3) En grafparametrisering av S ges av $\mathbf x(u,v)=(u,v,(1-u)v^{3}/3)$. Därmed är S en reguljär orienterbar yta.

(b)

Vi har $\mathbf x_{u}=(1,0,-v^{3}/3)$ och $\mathbf x_{v}=(0,1,(1-u)v^{2}),$ så $\mathbf x_{uu}=(0,0,0),$ $\mathbf x_{uv}=(0,0,v^{2})$ och $\mathbf x_{vv}=(0,0,2(1-u)v)$.

Detta ger E=1+v⁶/9, F=-(1-u)v⁵/3 och G=1+(1-u)²v⁴ samt e=0, $f= -v^{2}/\sqrt{EG-F^{2}}$ och $g=2(1-u)v/\sqrt{EG-F^{2}}$. Vi får därför

$$K=-v^{4}/(EG-F^{2})^{2}\mbox{~~~och~~~}H=-(1/2)(EG-F^{2})^{-3/2}(2E(1-u)v+2v^{2}F)$$

Av detta följer att pukter där $v\not=0$ är hyperboliska. I punkter där v=0 är K=H=0, så dessa punkter är plana (och navelpunkter).

(c)

Differentialekvationen för asymptotiska kurvor blir

0=2v²u'v'+2(1-u)v(v')²=vv'(2vu'+2(1-u)v')

Alternativet v'=0, ger v=k, där k är en konstant, medan 0=2v²u'+2(1-u)vv' efter separering och integrering ger $\ln\vert v\vert=\ln\vert u-1\vert+c,$ (c en konstant) så v=C(u-1), där C är en godtycklig konstant. De asymptotiska kurvorna är alltså dels $\alpha(t)=(t,k,(1-t)k^{3}/3)$ och dels $\alpha(t)=(t,C(t-1),-C(t-1)^{4}/3),$ där k och C är godtyckliga konstanter.

6.

(a)

Villkoret att linjen genom $\beta(s)$ och $\alpha(s)$ är vinkelrät mot kurvan $\alpha$ ger att vi måste ha $\beta(s)-\alpha(s)=\phi(s)n(s)+\psi(s)b(s),$ för några funktioner $\phi$ och $\psi$.

Villkoret att linjen genom $\beta(s)$ och $\alpha(s)$ är tangentlinje till $\beta$ ger att $\beta'=t+\phi'n-\phi kt-\phi\tau b +\psi'b+\psi\tau n$ är parallell med $\phi(s)n(s)+\psi(s)b(s),$ så vi får speciellt $0=1-\phi k,$ eller $\phi=1/k$. Villkoret blir sedan att $(\phi'+\psi\tau)/\phi=(\psi'-\phi \tau)/\psi$. Men $\alpha$ är reguljär och plan, så $\tau=0,$ så vi får istället $\phi'/\phi=\psi'/\psi,$ eller $\psi=C/k,$ där C är en godtycklig konstant.

Svar: $\beta(s)=\alpha(s)+k(s)^{-1}n(s)+Ck(s)^{-1}b(s),$ där C är en godtycklig konstant.

(b)

Vi har $\vert\beta'\vert^{2}= (k')^{2}/k^{4}+C^{2}(k')^{2}/k^{4},$ så alla evolutor är reguljära när $k'\not=0$.

(c)

En reguljär kurva $\beta$ är plan när $\mbox{det}(\beta',\beta'',\beta''')=0,$ för då är dess torsion =0.

Vi har $\beta'=\phi'n+C\psi'b,$ $\beta''=\phi''n-\phi'kt+C\phi''b$ och $\beta'''= \phi'''n-\phi''kt-(\phi'k)'t-\phi'k^{2}n+C\phi'''b$.

Detta ger $\beta'\times\beta''=(\phi)^{2}kb+C(\phi')^{2}n$ och därmed är $\mbox{det}(\beta',\beta'',\beta''')=\langle \beta'\times\beta'',\beta'''\rangle=0,$ precis när C=0.