$\textstyle \parbox{5cm}{MATEMATIK \\ Göteborgs universitet\\ \\ }$ $\textstyle \parbox{3cm}{Inga hjälpmedel\\ Tele:H Seppänen \\ 0740-47 96 26\\ }$
Tentamen i MAN500 Differentialgeometri, 5p, 00 04 17, kl 8.45-13.45.
  1. Låt $S$ vara en reguljär yta i $\mathbb{R}^{3}$.
    1. Vad menas med en tangentvektor till $S$ i punkten $p\in S$?
    2. Visa att mängden av tangentvektorer till $S$ i $p\in S$ bildar ett tvådimensionellt linjärt rum.
    3. Antag att $f:S\rightarrow S$ är glatt. Hur definieras differentialen $df_{p}$ till $f$?
    4. Låt $S$ vara $S^{2}\setminus\{\pm(0,0,1)\}$. Visa att $f:S\rightarrow S,$ $f(x,y,z)=$
      $((x^{2}-y^{2})/\sqrt{1-z^{2}},2xy/\sqrt{1-z^{2}},z)$ är glatt och beräkna determinanten av $df_{p}:T_{p}(S)\rightarrow T_{p}(S),$ när $p=(1,0,0)$ ($f(p)=p$).
  2. Visa att Gausskrökningen kan uttryckas med hjälp av koefficienterna i första fundamentalformen.
  3. Låt $\alpha(s)=(\mbox{e}^{s}\cos(s),\mbox{e}^{s}\sin(s),\mbox{e}^{s}),$ $s\in \mathbb{R}$.
    1. Bestäm kurvans tangent- och normalvektor.
    2. Bestäm kurvans krökning och torsion.
    3. Visa att mängden $S$ av punkter $(x,y,z)$ i rummet sådana att $x^{2}+y^{2}=z^{2},$ $z>0,$ är en reguljär orienterbar yta.
    4. Välj en Gaussavbildning för $S$ och beräkna den geodetiska krökningen av $\alpha$ relativt $S$.
  4. Låt $\mathbf x$ vara den parametriserade ytan

    \begin{displaymath} \mathbf x(u,v)=(u-u^{3}/3+uv^{2},v-v^{3}/3+vu^{2},u^{2}-v^{2}),\,\,(u,v)\in\mathbb{R}^{2}. \end{displaymath}

    1. Visa att $\mathbf x$ är reguljär.
    2. Bestäm Gausskrökningen och medelkrökningen (välj själv normal).
    3. Bestäm ytans asymptotiska kurvor.
  5. Låt $S$ vara en reguljär orienterbar yta och $P$ ett plan, sådant att $C=S\cap P$ är en sammanhängande reguljär kurva. Visa att $C$ är en krökningslinje på $S$ om vinkeln mellan $S$ och $P$ är konstant.
  6. En båglängdsparametriserad kurva $\alpha$ är en cylindrisk helix om det finns en vektor $\mathbf u$ (av enhetslängd), så att $\alpha'\cdot \mathbf u$ är konstant. Antag att $\alpha$ har positiv krökning $k>0$. Visa att $\alpha$ är en cylindrisk helix om och endast om $\tau/k$ är konstant, där $\tau$ är kurvans torsion.