Tentamen i MAN500 Differentialgeometri, 99 04 07, kl 8.45-13.45.

1.

Låt v(t) och w(t) vara två parallella vektorfält längs kurvan $\alpha$ på den reguljära ytan S. Visa att $\langle v(t),w(t)\rangle$ är konstant.

2.

Visa att Gausskrökningen av en reguljär yta är en inre storhet (Theorema Egregium).

3.

Låt $\alpha(t)=(t\cos(t),t\sin(t),t),\,t\in \mathbb R$ och S vara lösningarna till $x^{2}+y^{2}-z^{2}=0,\,z\gt$.

(a)

Beräkna kurvans krökning och torsion.

(b)

Visa att S är en reguljär yta som innehåller $\alpha$ när t>0 och beräkna den geodetiska krökningen av $\alpha$ relativt S. (Välj själv normal.)

4.

Låt S vara funktionsytan $z=x^{2}+xy^{2},\,(x,y)\in\mathbb R^{2}$.

(a)

I vilka punkter är ytans Gausskrökning ?

(b)

Hur många plana punkter har ytan?

(c)

Avgör om $\alpha(t)=(-5t^{2}/4,t,5t^{4}/16)$ är en asymptotisk kurva på S.

5.

Låt $\gamma$ vara en geodet med positiv krökning på den orienterade reguljära ytan S med Gaussavbildning $N:S\rightarrow S^{2}$.

(a)

Visa att $dN_{p}:T_{p}\rightarrow T_{p}$ är självadjungerad.

(b)

Visa att $\{t,\,b\},$ där t och b är $\gamma$'s tangent respektive binormal, är en bas för tangentrummet.

(c)

Antag att S har Gausskrökning K=0. Visa att medelkrökningen H i $\gamma(t)$ ges av

$$H=\epsilon\frac{k^{2}+\tau^{2}}{2k},$$

där $\epsilon=\pm 1$ medan k och $\tau$ är krökningen respektive torsionen av $\gamma$.

6.

Enligt en av satserna i kursen kan man kring en icke-navelpunkt p på en reguljär yta S finna en lokal parametrisering $\mathbf x: U\rightarrow S,$ vars koordinatkurvor är krökningslinjer.

(a)

Visa att man kan välja en sådan parametrisering så att $\mathbf x(0,0)=p$ och $\mathbf x(u,0)$ är parametriserad med båglängd.

(b)

Visa att om S har konstant Gausskrökning K=0, så kan den lokala parametriseringen dessutom väljas så att koordinatkurvorna v= konstant är asymptotiska kurvor

(c)

Visa att dessa asymptotiska kurvor är räta linjer.

Efter skrivningstidens slut finns förslag till lösningar på kursens webb-sida. Skrivningen beräknas vara färdigrättad tisdagen den 13 april.