Matematiska institutionen Chalmers Tekniska Högskola och Göteborgs Universitet

Statistisk databehandling ht 95

L 10 (frivillig): Simulering av ett kösystem. Godkänd skriftlig rapportering av L10 ger (då rapporterna LL1-L9 godkänts) betyg väl godkänd.

Uppgift 1

Kunder anländer till ett betjäningssystem med två betjänare. Tiderna mellan ankomster för konsekutiva kunder är oberoende och fördelade som en gamma(2, 1)-fördelad stokastisk variabel T. Kunder betjänas i första hand av betjänare 1 vars betjäningstider är en exp(1)- fördelad s.v. Y och i andra hand av betjänare 2 vars betjäningstider är en exp(1/4)- fördelad s.v. Z. Kunder som anländer då båda betjänarna är sysselsatta väntar i en (för betjänarna gemensam) kö för att sedan i tur och ordning bli betjänade då någon av betjänarna blir ledig. Kölängden är maximerad till två kunder och kunder som anländer då kön är full (och betjänarna sysselsatta) försvinner direkt från systemet (och kommer ej tillbaka). En betjänad kund försvinner vid betjäningstidens slut från systemet. Med en sysselsättningsperiod B (“busy”) menas tidsperioden från det att en kund anländer till ett tomt system (lediga betjänare och tom kö) tills dess att systemet på nytt blir tomt.

Beräkna mha. simulering (och normal-approximation) ett 95% konfidensintervall för väntevärdet av B med approximativ bredd 0.2. Gör en preliminär simulering med 500 observationer för att beräkna det antal observationer n som krävs för intervallbredden 0.2.

Uppgift 2

Vi skapar en kontrollvariabel B̂ till variabeln B i uppgift 1 på följande sätt: Låt B_{i} vara en observation av B som genererats mha. observationerna T_{1}, T_{2}, … av T samt mha. observationerna Y_{1}, Y_{2}, … och Z_{1}, Z_{2}, … av betjäningstider för betjänare 1 resp.

2. Låt vidare F (x) = 1 − (1+x)e^{−x} vara fördelningsfunktionen för T. Då definierar vi B̂_{i} som längden av en sysselsättningsperiod för betjäningssystemet där de gamma(2, 1)- fördelade tiderna mellan ankomster T_{1}, T_{2}, … ersatts med de exp(1/2)-fördelade tiderna −2 ln(1−F (T_{1})), −2 ln(1−F (T_{2})), … (Betjäningstiderna Y_{1}, Y_{2}, … och Z_{1}, Z_{2}, … behålles oförändrade.) Observera att samma T -, Y - och Z-observationer som användes för att bilda B_{i} skall “återanvändas” vid bildandet av B̂_{i} (och sådeles måste “sparas”). Om det går åt fler T -, Y - och/eller Z-observationer vid bildandet av B̂_{i} än vid bildandet av B_{i} (så att de observationer som användes till att bilda B_{i} “tar slut”) så “fyller man på” med “nya” (oberoende) T -, Y - och/eller Z-observationer tills B̂_{i} färdigbildats.

Vid exp(1/2)-fördelade tider mellan ankomster kan man [till skillnad från i gamma(2, 1)- fallet] beräkna momenten för en sysselsättningsperiod: Det visar sig att E\{B̂\} = \frac{203}{75} och σ(B̂)^{2} = Var\{B̂\} = \frac{341627}{16875}. Alltså blir medelvärdet av de observerade värdena för B − c[B̂ − \frac{203}{75}] en vvr. skattning av E\{B\} för varje val av talet c. Enligt övn. 4.22 i Rådes bok utnyttjar vi B̂ bäst (dvs. får minst varians) om c = Cov{B, B̂}/σ(B̂)^{2}. Här är kovariansen ej känd, men man kan skatta den mha. en preliminär körning eller helt enkelt välja tex. c = 1. Man kan också göra en skattning σ̂(B)^{2} av Var{B} då uppgift 1 löses, gissa ett värde för korrelationen ϱ mellan B och B̂ (tex. ϱ = 0.9) och sedan skatta c med ĉ = ρσ̂(B)/σ(B̂). [Man kan ej (utan vidare) skatta c i samma körning som {(B_{i}, B̂_{i})}_{i=1}^{n} simuleras, ty då blir observationerna B_{i} − ĉ[B̂_{i}− \frac{203}{75}] beroende.]

Simulera n par av sysselsättningsperioder {(B_{i}, B̂_{i})}_{i=1}^{n} med (B_{i}, B̂_{i}) definierade som ovan (och n som i uppgift 1). Använd B̂ till att förbättra skattningen av E{B}. Den förbättrade skattningen blir medelvärdet av \{B_{i}−c[B̂_{i}− \frac{203}{75}]\}_{i=1}^{n} där c väljes enligt något av förslagen ovan. Beräkna ett 95% konfidensintervall med detta val av c och jämför intervallbredden med den bredd som fås då c=0 (dvs. då kontrollvariabeln ej utnyttjas).

Anmärkning: Betjäningssystemet är en stokastisk process {Z_{t}}_{t≥0} med möjliga värden

(0, 0, 0) = “betjänare 1 ledig, betjänare 2 ledig, kön tom”, (1, 0, 0) = “betjänare 1 sysselsatt, betjänare 2 ledig, kön tom”, (0, 1, 0) = “betjänare 1 ledig, betjänare 2 sysselsatt, kön tom”, (1, 1, n) = “betjänare 1 sysselsatt, betjänare 2 sysselsatt, k kunder i kön”, k=0,1,2.

Vid exp(1/2)-tider mellan ankomster är Z_{t} en Markov-process med övergångsintensiteter

(1, 0, 0)
(0, 0, 0)  (0, 1, 0)  (1, 1, 0)  (1, 1, 1)  (1, 1, 2).

Låt τ_{(i,j,k)} vara den tid det tar Z_{t} att nå tillståndet (0, 0, 0) givet att Z_{0} =(i, j, k). Om ζ_{λ} är en exp(λ)-fördelad s.v. oberoende av variablerna τ_{(i,j,k)} kan då tex. E{B̂^{n}} = E{(τ_{(1,0,0)})^{n}} beräknas genom att för k =1, …, n (tex. låta Mathematica) lösa ekvationssystemet

E\{(τ_{(1,0,0)})^{k}\} = \frac{2}{3}E\{(ζ_{3/2})^{k}\} + \frac{1}{3}E\{(ζ_{3/2}+τ_{(1,1,0)})^{k}\}, E\{(τ_{(0,1,0)})^{k}\} = \frac{1}{3}E\{(ζ_{3/4})^{k}\} + \frac{2}{3}E\{(ζ_{3/4}+τ_{(1,1,0)})^{k}\}, E\{(τ_{(1,1,0)})^{k}\} = \frac{1}{7}E\{(ζ_{7/4}+τ_{(1,0,0)})^{k}\} + \frac{4}{7}E\{(ζ_{7/4}+τ_{(0,1,0)})^{k}\} + \frac{2}{7}E\{(ζ_{7/4}+τ_{(1,1,1)})^{k}\}, E\{(τ_{(1,1,1)})^{k}\} = \frac{5}{7}E\{(ζ_{7/4}+τ_{(1,1,0)})^{k}\} + \frac{2}{7}E\{(ζ_{7/4}+τ_{(1,1,2)})^{k}\}, E{(τ_{(1,1,2)})^{k}} = E{(ζ_{5/4}+τ_{(1,1,1)})^{k}}.