Matematiska institutionen Chalmers Tekniska Högskola och Göteborgs Universitet

Statistisk databehandling ht 95

LL 2: Regressionsanalys med Minitab

Följande laboration är baserad på material utarbetat av lektor Kerstin Vännman vid Tekniska Högskolan i Luleå. Lösningarna skall innehålla fullständiga modellantaganden.

Uppgift 1

I tabell 1 ges aluminiumhalten AlH_{2}O i 25 sjöar och aluminiumhalten i fiskgäle Alfisk från motsv. sjöar. (Även fiskarnas vikt anges.) Man vill uttrycka Alfisk mha. AlH_{2}O.

a) Gör en enkel linjär regressionsanalys med Alfisk som beroende och AlH_{2}O som oberoende variabel. Vad blir den skattade regressionslinjen, residualspridningen samt förklaringsgraden?

b) Ange i form av ett 95 % konfidensintervall hur mycket Alfisk ändras i genomsnitt då AlH_{2}O ökar med 1 (enhet).

c) Plotta den skattade regressionslinjen tillsammans med observationsvärdena men utan konfidensintervall och prognosintervall. Plotta också residualerna mot AlH_{2}O. Kommentera plotterna. Verkar modellantagandena rimliga?

Uppgift 2

Tabell 2 ger värden för strömuttaget vid ett vindkraftverk för olika vindhastigheter. Man önskar en modell för att beskriva hur strömuttaget beror av vindhastigheten.

a) Gör en regression med strömmmen som beroende och vindhastigheten som oberoende variabel. Angiv skattad regressionslinje, residualspridning och förklaringsgrad.

b) Plotta den skattade regressionslinjen och observationsvärdena tillsammans med både 95 % konfidensintervall för det förväntade strömuttaget och 95 % prognosintervall för strömuttaget. Handräkna dessutom intervallen om vindhastigheten är 6. Markera intervallen i utskriften. Stämmer dina beräkningar? Som hjälp ges

∑_{i=1}^{25}(x_{i} − x̄)^{2} = ∑_{i=1}^{25} x_{i}^{2} − 25 · x̄^{2} = 153.554, x̄ = 6.132.

c) Plotta residualerna mot vindhastigheten. Vilket mönster ser du? Verkar modellantagandena rimliga? Om inte, vad i antagandena tycks fel?

Uppgift 3

Residualerna i uppgift 2 antyder att någon annan oberoende variabel än vindhastigheten bör prövas.

a) Gör en regression med strömmen som beroende och 1/vindhastigheten som oberoende variabel. Vad blir nu den skattade regressionslinjen, residualspridningen samt förklaringsgraden?

b) Plotta den skattade regressionslinjen och observationsvärdena tillsammans med både 95 % konfidensintervall för det förväntade strömuttaget och 95 % prognosintervall för strömuttaget. Jämför med diagrammet från uppgift 2 b) och kommentera.

c) Gör en residualplott av residualerna mot den nya oberoende variabeln. Anser du att modellen i uppgift 3 blev bättre än den i uppgift 2? Motivera ditt svar.

Uppgift 4

I uppgift 1 uttrycktes Alfisk mha. AlH_{2}O. Man önskar nu ta hänsyn även till fiskens vikt.

a) Tag med fiskens vikt i modellen och genomför en multipel regression med två förklarande variabler. Bestäm den skattade modellen samt residualspridningen. Tolka de skattade koefficienterna. Hur stor andel av den totala y-variationen förklarar modellen?

b) Plotta residualerna mot de predikterade värdena samt mot resp. förklarande variabel. Plotta vidare residualerna på normalfördelningspapper. Kommentera varje residualplott. Finns det anledning vara misstänksam mot något i modellantagandet?

c) Uppskatta i form av ett 95 % konfidensintervall förväntad Alfisk då AlH_{2}O är 300 dels om fiskens vikt är 600, och dels om fiskens vikt är 1200. Plotta intervallen.

d) Är det värt föra in vikten i modellen? Besvara frågan mha. lämpligt konfidensintervall (eller test) och genom att jämföra residualspridning och justerad förklaringsgrad. Tag även hänsyn till resultatet i c).

Uppgift 5

Man vill undersöka hur halten x av styren påverkar viskositeten y för en styrenblandning. Tabell 3 visar 5 viskositets mätningar för var och en av 6 olika styrenhalter. a) Pröva x som förklarande variabel. Vad blir den skattade regressionslinjen, förklarings-

graden och residualspridningen? Plotta residualerna mot x. Visar residualplotten något mönster? Plotta den skattade linjen tillsammans med 95 % prognosgränser.

b) Gör en regression med både x och x^{2} som förklarande variabler. Bestäm den skattade modellen, förklaringsgraden och residualspridningen. Plotta residualerna mot x och kommentera. Plotta 95 % prognosintervall i ett x-y-diagram.

c) Vilken av de två modellerna anser du att man bör använda?

Tabell 1 Aluminiumhalten i vatten och fiskgäle i 25 sjöar samt fiskarnas vikt. Datamaterialet finns inmatat i filen LL2-fil1.dat.

Observation nr AlH_{2}O Alfisk vikt
1  435  18 1020
2  401  16  920
3  343  15  986
4  184  9  663
5  352  14  558
6  317  16 1428
7  269  14  882
8  200  11 1156
9  486  19 1228
10  321  17 1392
11  369  15  483
12  452  20  876
13  415  19  798
14  186  9  657
15  213  12 1289
16  250  12  823
17  346  15  965
18  384  15  799
19  426  17  963
20  420  19  836
21  208  12 1212
22  456  18 1200
23  371  18 1063
24  395  16  796
25  316  16 1407

Tabell 2 Vindhastighet och strömuttag hämtat ur Montgomery/Peck: Introduction to Linear Regression Analysis. Datamaterialet finns inmatat i filen LL2-fil2.dat.

Observation nr Vindhastighet Strömuttag
1  5.00  1.582
2  6.00  1.822
3  3.40  1.057
4  2.70  0.500
5  10.00  2.236
6  9.70  2.386
7  9.55  2.294
8  3.05  0.558
9  8.15  2.166
10  6.20  1.866
11  2.90  0.653
12  6.35  1.930
13  4.60  1.562
14  5.80  1.737
15  7.40  2.088
16  3.60  1.137
17  7.85  2.179
18  8.80  2.112
19  7.00  1.800
20  5.45  1.501
21  9.10  2.303
22  10.20  2.310
23  4.10  1.194
24  3.95  1.144
25  2.45  0.123

Tabell 3 Viskositeten för en styrenblandning vid olika halter av styren. Datamaterialet finns inmatat i filen LL2-fil3.dat.

Styrenhalt x  Viskositet y
0  49.9 51.2 45.7 46.8 52.5
10  31.0 29.6 28.0 32.0 31.5
20  26.5 22.0 23.0 24.0 24.8
30  14.3 15.5 9.9 17.9 13.0
40  14.0 16.9 11.1 14.8 13.0
50  13.6 12.8 11.1 10.3 12.0