Matematiska institutionen Chalmers Tekniska Högskola och Göteborgs Universitet

Statistisk databehandling ht 95

L 7 : Två tillförlitlighetssystem

Uppgift 1

Ett tillförlitlighetssystem består av tre komponenter K_{1}, K_{2}, K_{3} där K_{1} och K_{2} är parallellkopplade och parallellkopplingen i sin tur seriekopplad med K_{3}. Motsv. livslängder T_{1}, T_{2}, T_{3} är (oberoende) Weibull(λ, 1/3)-, Weibull(λ, 1/3)- resp. Weibull(μ, 1/3)-fördelade. En Weibull(γ, 1/3)-komponent kostar 1 + 1/γ kkr. Bestäm numeriskt de val av λ och μ som ger systemet maximal medellivslängd för systemkostnaderna 4, 9, 16 kkr.

Tips: I Mathematica kan man använda kommandot

    FindMinimum[-mean[lambda,mu[kost,lambda]],{lambda,lambda0}]

(ett lämpligt startvärde är lambda0 = 4/(kost − 3)) där

    mean[lambda_,mu_] := Integrate[F[lambda,mu,t],{t,0,Infinity}]

är systemets medellivslängd, mu[kost_,lambda_] := … uttrycker μ som funktion av systemkostnaden och λ samt F[lambda_,mu_,t_] := … är sannolikheten att systemet har livslängd T större än t (som funktion av λ och μ).

Anmärkning: Ovan nyttjade vi formeln E[T] = ∫_{0}^{∞} P [T > t] dt.

Uppgift 2

Ett tillförlitlighetssystem består av två parallellkopplade komponenter. Systemet påverkas av en serie oberoende chocker och när systemet träffas av en chock går (var och en av) komponenterna sönder oberoende av varandra med sannolikhet r. Om exakt en komponent går sönder kommer den plötsligt ökade belastningen på den överlevande komponenten att förstöra denna med sannolikhet s. Låt N vara antalet chocker till systemet går sönder.

Systemet beskrives av Markov-kedjan {Z_{k}}_{k=0}^{∞} med tillstånd 0, 1 och 2 svarande mot antal hela komponenter i systemet och övergångsmatris P = (p_{ij}), p_{ij} = P [Z_{n+1} = j|Z_{n} = i], given av p_{00} = 1, p_{01} = 0, p_{02} = 0, p_{10} = r, p_{11} = 1 − r, p_{12} = 0, p_{20} = r^{2} + 2sr(1 − r), p_{21} = 2(1 − s)r(1 − r) och p_{22} = (1 − r)^{2}. Skatta väntevärdet E[N] mha. 1000 simuleringar av N för varje möjlig kombination av r, s ∈ {1/3, 2/3}. Tips: I S^{+} kan behövlig del av övergångsmatrisen P bildas mha. kommandot

P<-matrix(c(1-r,2*(1-s)*r*(1-r),0,(1-r)**2),2,2)

(övergångssannolikheterna till och ifrån 0 behövs ej) där p_{ij}-värdena givna ovan fylles i. En simulering av variabeln N kan då utföras med

N<-0; Z[0]<-2; while(Z[N]>0){Z[N+1]<- . . .; N<-N+1}

Markov-kedjan {Z[n]} genereras från en svit {X[n]} av slumptal mellan 0 och 1 enligt

Z[N+1]<-as.integer(X[N]+P[Z[N],1]+P[Z[N],2])+as.integer(X[N]+P[Z[N],2])

(jämför föreläsning 6). (Heltalsdelen INT(x) av ett reellt tal x fås i S^{+} med funktionen as.integer(x). Simuleringen är tidskrävande (några minuter) så det lönar sig göra färre simuleringar (än 1000) medan man justerar in sitt program. Anmärkning: Eftersom S^{+} ej tillåter 0 som matrisindex blir programmeringen mera komplicerad om man vill mata in hela P: Det är frestande ge kommandot

P<-matrix(c(1,r,r**2+2*s*r*(1-r),0,1-r,2*(1-s)*r*(1-r),0,0,(1-r)**2),3,3)

men resultatet härav blir att tex. P[3,3] får P[2,2]’s värde (1 − r)^{2}.