vilket är en ändlig geometrisk serie med r=1/2, enligt föregående avsnitt. Vi
har då också, enligt föregående avsnitt, att
limr->ooTn=1/(1-r)=1/(1-1/2)=2.
Detta betyder alltså att trots att vi lägger ihop oändligt många
tidssteg, så blir den totala tiden aldrig större än 2s.
Vi observer vidare att vårt antagande att Akilles rör sig dubbelt så snabbt
som sköldpaddan inte är kritiskt för att lösa problemet. Om vi hade
valt att anta att Akilles och sköldpaddans hastigheter hade något annat
samband hade detta gått lika bra (så länge Akilles är snabbare än
sköldpaddan), endast r i den geometriska serien hade ändrats då r
motsvarar förhållandet mellan sköldpaddans och Akilles hastigheter.
Är då Akilles snabbare än sköldpaddan så blir |r|<1, och den oändliga
geometriska serien konvergerar.
Sammanfattning och slutsatser
Vi har studerat paradoxen "Akilles och sköldpaddan". Först har vi
beskrivit problemet, sedan omformulerat det på ett sätt som som gör
det möjligt att analysera problemet med hjälp av en oändlig geometrisk
serie, som beskriver den totala tiden som Akilles ligger bakom
sköldpaddan fr.o.m. starten. Denna totala tid är en summa av ett
oändligt antal kortare och kortare tidssteg, och vi kunde visa att
denna geometriska serie konvergerade till ett ändligt tal. Vi kunde
därmed dra slutsatsen att Akilles springer om sköldpaddan efter denna
ändliga tid, och den skenbara paradoxen är därmed löst.
|