next up previous
Next: Implementation i Matlab Up: Studio 3 Previous: while-Loopar

Fixpunktsiteration

Fixpunktsiteration är ett, vanligtvis ineffektivt, sätt att lösa ekvationer på. Iden är emellertid enkel. Antag att vi vill lösa andragradsekvationen

$\displaystyle x(x+2) =8.$    

Vi börjar då med att skriva om ekvationen så att vi få r ett $ x$ i vänsterledet, genom att dividera med $ (x+2)$

$\displaystyle x = \frac{8}{x+2}.$    

Ekvationen har nu formen

$\displaystyle x = g(x),$    

där $ g(x) = 8/(x+2)$. Om $ x^*$ betecknar den exakta lösningen till $ x(x+2)=8$ har vi tydligen $ x^*=g(x^*)$.

Nästa steg är att gissa en approximation till $ x^*$, t.ex. $ x_0=4$ och evaluera $ g(x_0)=g(4)$. Vi får då

$\displaystyle g(x_0)=g(4)=\frac{8}{2+x_0}=\frac{4}{3}=1.75.$    

Förhoppningen är nu att detta värde, som vi fortsättningsvis kallar $ x_1$ skall vara en bättre approximation till $ x^*$ än $ x_0$. Det finns inget som styrker att detta antagande är sant just nu, men om det är så, så borde ju $ x_2=g(x_1)$ vara en ännu bättre approximation till $ x^*$. Alltså, låt oss också räkna ut $ g(x_1)$. Vi får

$\displaystyle g(x_1)=g(4/3)=\frac{8}{2+x_1}=2.40,$    

som vi kallar $ x_2$, och tror är den bästa approximation till $ x^*$ som vi hittils räknat ut.

Håller vi nu på så här genereras en sekvens med tal,

$\displaystyle x_1 = g(x_0), \quad x_2 = g(x_1), \quad x_3 = g(x_2), \quad x_4 = g(x_3), \ldots$    

som vi hoppas konvergerar mot $ x^*$ om $ n$ är stort. Detta kallas fixpunktsiteration.

next up previous
Next: Implementation i Matlab Up: Studio 3 Previous: while-Loopar
Fredrik Bengzon 2004-08-24