Iden till detta examensarbete kommer från en artikel av Bennett
Eisenberg och Gilbert Stengle i Journal of Mathematical Analysis
an Applications 198, 458-471 (1996). Artikeln i fråga
behandlar följande problem.
Antag att k tävlande deltar i en tävling. Låt de stokastiska
variablerna Xi, i=1,...,k vara de
olika deltagarnas
resultat och antag att X1,..., Xk
är oberoende och
heltalsvärda med fördelning
pi=P(X1=i),
i=1,...,n.
Hur skall pi'na väljas för att sannolikheten att den högsta
poängen delas mellan två eller fler deltagare minimeras?
Bakgrunden är förstås att man vill dela ut ett fint förstapris
till segraren och vill därför helst kunna utse en ensam vinnare.
Eisenberg och Stengle visar att fördelningsfunktionen, F, som
svarar mot de pi'n som minimerar denna sannolikhet
fås om man löser ekvationssystemet
under bivillkoren F(0)=0 och F(n)=1.
De studerar också vad som händer om n går mot oändligheten och
om k går mot oändligheten och ger olikheter för risken för delad seger.
Ett problem är att när n är något så när stort är det i praktiken
omöjligt att ge ett explicit uttryck för lösningen till ekvationssystemet ovan.
En lämplig deluppgift är att låta en dator ge numeriska lösningar
för olika värden på n och k och att också beräkna risken för
delad seger i de olika fallen.
I samband med detta skulla man också kunna tänka sig att generalisera
till fallet när man vill att ingen av de exempelvis tre första
placeringarna delas. (Man vill ju kunna dela ut medaljer till de tre första.)
Vidare kan man förenkla ursprungsproblemet till att hitta den optimala
fördelningen av en viss typ. Man kan till exempel anta att
Xi'na
följer en binomialfördelining eller en trunkerad geometrisk fördelning.
Man kan då, eventuellt med datorhjälp, uttrycka den optimala
fördelingen explicit.
Kontaktperson
Johan Jonasson, tel: 772 3546, epost: expect@math.chalmers.se