MATEMATIK Dag : 011027 Tid : 8.45 - 13.45. Göteborgs Universitet Hjälpmedel : Inga Peter Hegarty Vakt : Sergei Kitaev 0740-350646.

Tentamenskriving i Algebra, del 1 (MAN 010)

≥ 12 poäng, inkl. bonus från inlämningsuppgiften och grupparbeten, ger godkännt. ≥ 18 poäng ger väl-godkännt. Dessa gränser kan minskas efteråt.

1 (2p+2p). Låt n vara ett positivt heltal. Bevisa att

(i)

( \begin{matrix}2n \\ n \end{matrix} ) > \frac{2^{2n}}{\sqrt{5n}},

(ii)

( \begin{matrix}2n \\ n \end{matrix} ) = ∑_{k=0}^{n} ( \begin{matrix}n \\ k \end{matrix} )^{2} .

2 (1p+2p). (i) Låt oss säga att 55 personer gör tentan idag. Varje person kommer att få ett av 3 möjliga resultat : U, G eller VG. Hur många möjligheter finns det alltså för den kompletta resultat listan ? (hur ni ordnas på listan är irrelevant - det finns antagligen någon logik bakom hur det avgörs !). (ii) Antag nu att följande enkla markeringsystem gäller för tentan (det är inte så, förresten !) : (a) att för varje uppgift får du antingen alla poängen eller inga (b) att du har med dig antingen 0 eller +3 bonuspoäng från kursarbetet.

På hur många olika sätt kan du nu fixa VG, dvs minst 18 poäng ? (t.ex. ett sätt är att ha +3 i bonus, och svara rätt på uppgifter 1,2,3,4,5 och fel på de andra).

3 (3p). Minst en av rötterna till polynomet

p(z) := z^{5} − z^{4} + 10z^{3} − 15z^{2} + 9z − 54

är rent imaginär. Lös nu p(z) = 0 i sin helhet.

4 (3p). Formulera och bevisa Aritmetikens Fundamentalsats.

5 (1.5p+1.5p). (i) Låt z, w vara komplexa tal, med w ≠ 0. Bevisa att

\overline{(\frac{z}{w} )} = \frac{\overline{z}}{\overline{w}} .

(ii) Ange en funktion f(x, y) av två variabler så att, för alla θ ∈ R,

cos 7θ = f(cos θ, sin θ).

6 (1.5p+1.5p). (i) Låt G vara en abelsk grupp. Sätt

H := {y ∈ G : y = x^{3} för något x ∈ G}.

Bevisa att H är en delgrupp till G.

(ii) Genom att betrakta gruppen G = S_{4}, visa att resultatet från del (i) inte kan utvidgas till icke-abelska grupper.

7 (3p). Kl. 10 på morgonen går Herr Olsson in i HP och köper 16 äpplen, 7 apelsiner och 21 bananer. Det kostar honom 275 kr. Tio minuter senare går Fru Gillo in och köper 8 äpplen, 15 apelsiner och 29 bananer, för 299 kr. totalt. Om varje frukt kostar ett heltal kronor, avgör hur mycket ett äpple, en apelsin och en banan kostar.

8 (3p). Låt x vara ett naturligt tal så att x^{3} + x är en perfekt fjärdepotens. Bevisa att 16 | x.

(Ledning : tänk modulo 8).

Obs! Tentan beräknas vara färdigrättad den 1 novermber. Då kan den hämtas i mottagningsrummet mellan kl. 12:30-13:00. Tentamensresultat lämnas också ut per telefon 772 35 09 efter kl. 14:00.