MATEMATIK Dag : 030416 Tid : 8.45 - 13.45. Göteborgs Universitet Hjälpmedel : Inga Peter Hegarty Vakt : Johanna Pejlare 0740-350646.

Tentamenskriving i Algebraisk talteori (MAN 640)

≥ 12 poäng, inkl. inlämningsuppgifterna, ger godkännt. Denna gräns kan minskas efteråt.

1 (3p). Formulera och bevisa Möbius inversionsformel.

2 (2.5p). Låt p vara ett primtal. Utan att hänvisa till Dirichlets sats, bevisa att det finns oändligt många primtal q så att q ≡ 1 (mod p).

3 (2p+1.5p). Låt p vara ett udda primtal och ζ en primitiv p:te enhetsrot. Sätt

G := ∑_{m=0}^{p−1} (\frac{m}{p}) ζ^{m}.

(i) Beräkna G^{2}. (ii) Formulera Gauβ reciprocitetslag. Med hjälp av resultaten av del (i), eller på något annat sätt, bevisa lagen.

4 (1.5p+2p). (i) Ange alla reducerade binära kvadratiska former av diskriminant −36. (ii) Ange alla primtal som kan representeras på formen 101x^{2} + 262xy + 170y^{2}, för några heltal x, y.

5 (3.5p). Låt d > 0 ej en perfekt kvadrat. Visa att det finns en grupp struktur på mängden av lösningarna (x, y) ∈ Z^{2} till ekvationen

x^{2} − dy^{2} = 1,

och ange (med bevis) strukturen av denna grupp.

6 (4p). Antag att F.T.A. gäller i Z[\sqrt{−1}]. Bevisa att den Diofantiska ekvationen

y^{2} + 4 = z^{3}

har fyra lösningar, nämligen (±11, 5) och (±2, 2).

(Tips : Dela upp analysen enligt pariteten av y).

Obs! Tentan beräknas vara färdigrättad den 22 april. Då kan den hämtas i mottagningsrummet mellan kl. 12:30-13:00. Tentamensresultat lämnas också ut per telefon 772 35 09 efter kl. 14:00.