MATEMATIK Dag : 010127 Tid : 8.45 - 13.45. Göteborgs Universitet Hjälpmedel : Inga Peter Hegarty Vakt : Fredrik Engström 0740-350646.

Tentamenskriving i Algebraisk talteori (MAN 640)

Obs! I de uppgifter där man ska formulera en sats, måste man ge tydliga definitioner av alla termerna i formuleringen.

I uppgifter nr. 2,4,6,7, om du använder något resultat från föreläsningsanteckningarna i din lösning, då behöver du inte bevisa det.

≥ 12 poäng, inkl. inlämningsuppgifterna, ger godkännt. Denna gräns kan minskas efteråt.

1 (0.1p+0.4p+2.5p). (i) Formulera Fermat’s Last Theorem. (ii) Varför räcker det att bevisa FLT för n = p, ett primtal och n = 4 ? (iii) Bevisa FLT för n = 4.

2 (2p). Utan att hänvisa till Dirichlets sats, bevisa att det finns oändligt många primtal p så att p ≡ 2 (mod 3).

3 (0.2p+0.2p+2.6p). (i) Formulera Gauβ lemma. (ii) Formulera Gauβ reciprocitetslag. (iii) Bevisa lagen med hjälp av lemmat, eller på något annat sätt.

4 (1.5p+1.5p). (i) Ange alla reducerade binära kvadratiska former av diskriminant −24. (ii) Ange alla primtal som kan representeras på formen x^{2} + 14xy + 55y^{2}, för några heltal x, y.

5 (0.3p+2.7p). (i) Formulera Minkowskis sats. (ii) Med hjälp av denna sats, eller på något annat sätt, bevisa fyra-kvadraters satsen.

6 (3p). Låt G vara en ändlig abelsk grupp och g ∈ G. Beräkna

∑_{χ∈Ĝ} [χ(g)]^{2} .

7 (3p). Beräkna (med bevis)

lim_{N→∞} \frac{1}{N^{2}} (∑_{n=1}^{N} ϕ(n)) ,

där ϕ är Eulers phi-funktion.

Obs! Tentan beräknas vara färdigrättad den 24 januari. Då kan den hämtas i mottagningsrummet mellan kl. 12:30-13:00. Tentamensresultat lämnas också ut per telefon 772 35 09 efter kl. 14:00.