MATEMATIK Dag : 010822 Tid : 8.45 - 13.45. Göteborgs Universitet Hjälpmedel : Inga Peter Hegarty Vakt : Anders Öhgren 0740-350646.

Tentamenskriving i Algebraisk talteori (MAN 640)

Obs! I uppgifter nr. 2,4,6,8 betyder ett ‘bevis’ att om du använder något resultat från föreläsningarna, då måste det bevisas. I uppgifter nr. 1,3,5,7 kan resultat från föreläsningarna används utan bevis (om de behövs !). I uppgift nr. 2 kan standardfakta från t.ex. flervariabelanalys användas utan bevis.

≥ 12 poäng, inkl. bonus från inlämningsuppgifterna, ger godkännt. Denna gräns kan minskas efteråt.

1 (3p). Låt a, b > 2 vara heltal. Bevisa att 2^{a} + 1 är inte delbar med 2^{b} − 1.

2 (3p). Låt n ∈ N och χ vara en Dirichlet karaktär modulo n. För Re(s) > 1, sätt L(s, χ) = ∑_{n≥1} χ(n)/n^{s}. Bevisa att, för godtycklig χ, Lfunktionen kan fortsättas till en meromorfisk funktion i Re(s) > 0. I vilka fall är den fortsätta funktionen holomorfisk ?

3 (3p). (i) Ange alla udda primtal som kan uttryckas i formen x^{2}+xy+4y^{2}, där x, y ∈ Z.

4 (0.2p+2.8p). (i) Låt m, n vara udda heltal. Definiera symbolen (\frac{m}{n}). (ii) Bevisa att om m, n är relativt prima, då gäller att

(\frac{m}{n}) (\frac{n}{m}) = (−1)^{\frac{1}{4} (m−1)(n−1)}.

5 (3p). Låt K = Q( ^{3} \sqrt{2}). Ange alla primtal som ramifierar i K.

6 (3p). Låt A vara en ring, M en A-modul och N en A-delmodul till M. Bevisa att M Är Noetersk omm både N och M/N är Noeterska.

7 (3p). Faktorisera huvudidéalet < 4 + 3\sqrt{−11} > i O_{K}, där K = Q[\sqrt{−11}].

8 (3p+1p). (i) Ange ALLA lösningar (x, y) ∈ Z^{2} till ekvationen x^{2} − 11y^{2} = 1 ? Bevisa ditt svar. (ii) Ange en fundamental enhet i Q(\sqrt{11}).

Obs! Tentan beräknas vara färdigrättad den 24 augusti. Då kan den hämtas i mottagningsrummet mellan kl. 12:30-13:00. Tentamensresultat lämnas också ut per telefon 772 35 09 efter kl. 14:00.