MATEMATIK Dag : 010127 Tid : 8.45 - 13.45. Göteborgs Universitet Hjälpmedel : Inga Peter Hegarty Vakt : Fredrik Engström 0740-350646.

Tentamenskriving i Algebraisk talteori (MAN 640)

Obs! I uppgifter nr. 2,4,6,8 betyder ett ‘bevis’ att om du använder något resultat från föreläsningarna, då måste det bevisas. I uppgifter nr. 1,3,5,7 kan resultat från föreläsningarna används utan bevis (om de behövs !). I uppgift nr. 2 kan standardfakta från t.ex. flervariabelanalys användas utan bevis.

≥ 12 poäng, inkl. bonus från inlämningsuppgifterna, ger godkännt. Denna gräns kan minskas efteråt.

1 (3p). Hur många primtal p satisfierar alla 4 följande kongruenser ? Bevisa ditt svar.

p ≡ 1 (mod 3),
p ≡ 2 (mod 5),
p ≡ 3 (mod 7),
p ≡ 4 (mod 11).

2 (2p+1p). (i) För Re(s) > 1, sätt ζ(s) = ∑_{n≥1} 1/n^{s}. Bevisa att detta definierar en analytisk funktion som kan fortsättas till en meromorfisk funktion i Re(s) > 0 med en enda enkel pol i s = 1, där resten är 1. (ii) Beräkna (med bevis)

∏ ; p primtal (1 − \frac{1}{p^{2}} ) .

3 (0.2p+2.8p). (i) Låt f = {a, b, c} vara en binär kvadratisk form med heltalskoefficienter. Säg vad det menar för f att vara reducerad. (ii) För var och en av primtalen p = 23, 31, säg om det finns en reducerad form av diskriminant 265 som representerar p. I så fall, ange en explicit reducerad form f av diskriminant 265, och ett explicit par x, y av heltal så att f(x, y) = p.

4 (0.5p+2.5p). (i) Skriv ner Gauβ’ lemma. Förklara noggrant all terminologi. Bevisa INTE lemmat ! (ii) Skriv ner Gauβ’ reciprocitets lag, och bevisa den med hjälp av hans lemma, eller på något annat sätt.

5 (1p+2p). (i) Låt K = Q( ^{3} \sqrt{2}, ^{4} \sqrt{3}). Vad är [K : Q] ? Bevisa ditt svar. (ii) Bevisa att det finns a ∈ Q så att

Q( ^{3} \sqrt{2} + a ^{4} \sqrt{3}) = K,

och ange ett sådant a (det finns många val !).

6 (3p). Bevisa att de algebraiska talen utgör en kropp och att denna kropp är algebraiskt sluten.

7 (3p). Faktorisera huvudidéalet < 5 + 2\sqrt{−13} > i Z[\sqrt{−13}].

8 (3p+1p). (i) Hur många lösningar (x, y) ∈ Z^{2} har ekvationen x^{2} − 2001y^{2} = −1997 ? Bevisa ditt svar. (ii) Beskriv explicit alla lösningarna (x, y) ∈ Z^{2} till ekvationen x^{2} − 2y^{2} = −1. Ett bevis behövs INTE !

Obs! Tentan beräknas vara färdigrättad den 30 januari. Då kan den hämtas i mottagningsrummet mellan kl. 12:30-13:00. Tentamensresultat lämnas också ut per telefon 772 35 09 efter kl. 14:00.