Fourieranalys
Under 2006 föreläste jag två upplagor av kursen
Fourieranalys i Lund, Matematik NF. Som kursmaterial, jämte
ett kompendium av C. Bennewitz, skrev jag följande
föreläsningsanteckningar.
Föreläsningsanteckningar i
Fourieranalys
Innehållsförteckning:
- Introduktion. Reell och komplex form. Formler för
Fourierkoefficienter.
- Funktionsrummen L_1 och L_infty. Jämforelse mellan olika
normer och konvergens. Faltning.
- Punktvis konvergens. Dirichletkärnan. Dinis sats.
Riemann-Lebesgues lemma.
- Fourierkoefficienterna bestämmer funktionen entydigt
nästan överallt. Approximativa enheter.
- Funktionsrummet L_2. Cauchy-Scharz olikhet. Jämforelse
med L_1, L_infty. Ortogonal projektion.
- Parsevals formel. Bessels olikhet. Fullständighet.
Cauchyföljder.
- Likformig konvergens för Fourierserien till en styckvis
C^1 funktion. Gibbs fenomen. Sammanfattning av
konvergensresultat.
- Vågekvationen. Variabelseparation. Stående
vågor. Dirichlet- och Neumannproblemet.
- Värmeledningsekvationen. Blandade randvillkor.
- Laplaces ekvation på enhetsskivan. Periodiska
randvillkor. Poissonkärnan.
- Fouriertransformen. Inversionsformeln. Dirichletkärnan.
- Plancherels sats: F är isometrisk och bijektiv på
L_2. Faltning.
- Differential- och integralekvationer. Fouriertransformmetoden.