Publicerad i Svenska Matematikersamfundets Medlemsutskick, 15 mars 2004.
Att läsa är nödvändigt. Det har ibland hävdats att den digitala revolutionen inom kort kommer att förvandla den tryckta boken till en anakronism. Sådant tal är naturligtvis rena dumheter. För mig personligen har informationsteknologin tvärtom lett till ett ökat bokläsande, tack vare internetbokhandlar och andra elektroniska sökverktyg [1] som underlättar sökandet efter goda böcker. Jag vill ägna detta utrymme åt att tipsa om några av de nyutgivna böcker jag läst det senaste året, och som (av olika skäl) kan vara av särskilt intresse för matematikersamfundets medlemmar. De fyra böcker jag valt ut att rapportera om är
| * * * | |
Populärvetenskaplig framställning av matematik är svårt men viktigt, och när Fieldsmedaljören Timothy Gowers [2] ger sig på att skriva en matematikbok riktad till en bred allmänhet kan det därför vara intressant att se hur han tar sig an uppgiften och i vilken mån han lyckas.
Flera olika ansatser är möjliga: en sådan är att sikta in sig på paradoxer och ''roliga'' problem av tankenötskaraktär, medan en annan är att diskutera vilken matematik den vanliga läsaren behöver för att förstå sin omedelbara omvärld och den hon möter i tidningar och TV. Som exempel på mästerliga tillämpare av dessa koncept ligger Martin Gardner respektive John Allen Paolos nära till hands att framhålla. Gowers väljer i Mathematics: A Very Short Introduction en tredje väg: han vill ge en bild av vad den högre matematiken är och vad den handlar om, och förklara fundamentala begrepp som axiom, bevis, och matematisk modell. Någon enkel genväg till dessa begrepp finns knappast, men Gowers gör ett utomordentligt gott försök att förmedla dem med ett minimum av teknikaliteter. För den typiska lekmannen kommer hans bok att kännas avgjort mer svårsmält än Gardners och Paolos' framställningar, men med en något så när seriös karftansträngning borde den inte vara omöjlig att ta sig igenom. Jag skulle gärna se att Gowers' bok användes som bredvidläsning på våra inledande matematikkurser på universitet och högskolor; även om många studenter säkert skulle förbli opåverkade av boken, så tror jag att den för en och annan skulle kunna ge en avgörande impuls i riktning mot verklig förståelse av matematiken.
Exemplen i boken känns genomgående väl valda, och läsaren får stifta bekantskap med bland annat induktionsprincipen, irrationaliteten hos $\sqrt{2}$ och gyllene snittet, och parallellaxiomets ställning i euklidisk geometri. Gränsvärdesbegreppet behandlas utförligt. Vad gäller själva sakinnehållet har den typiska samfundsmedlemmen nog lite eller inget att lära av boken, som ändå kan ge utmärkt behållning på ett annat plan: de sätt på vilka Gowers väljer att framställa och förklara de begrepp han tar upp kan skänka oss inspiration och intressanta idéer till vår undervisning.
Boken har ett aptitligt pocketformat, och ingår i en serie från Oxford University Press vars ambition tycks vara att täcka in de flesta områden av boklig kunskap -- bland de hundratalet tillgängliga titlarna (fler är på gång) finns t.ex. Cosmology: A Very Short Introduction, Nietzsche: A Very Short Introduction och Russian Literature: A Very Short Introduction. [3]
| * * * | |
Det är ''allmänt känt'' att två personer tagna på måfå i allmänhet är sammanlänkade av en bekantskapskedja av längd högst 6. Detta stycke trivia, ofta upprepat i skrift, tycks härstamma från en snillrik experimentell studie, baserad på brevkedjor, från 1967 av psykologen Stanley Milgram. Den som går tillbaka och granskar Milgrams arbete finner emellertid att där inte finns något entydigt stöd för påståendet om längden 6. Däremot kan man med hjälp av Milgrams data i kombination med lite eftertanke inse att påståendet blir sant om vi ersätter 6 med någon annan relativt liten konstant $C$. Det går utan tvivel bra att välja $C=12$, men huruvida $C=6$ går får alltjämt anses vara ofullständigt utrett.
Det världsomspännande sociala nätverket kan representeras med en graf, med drygt sex miljarder noder (svarande mot alla människor) och åtminstone en biljon kanter (svarande mot alla personliga bekantskaper). Att försöka förstå strukturen hos denna graf är -- tycker jag -- uppenbart intressant i sig självt, men det är också viktigt ur tillämpningssynpunkt, för att kasta ljus över exempelvis spridning av infektionssjukdomar. Under de tre decennier som följde närmast på Milgrams försök gjordes så gott som inga väsentliga framsteg mot en sådan förståelse, något som hänger samman dels med svårigheten att skaffa bra empiriska data, och dels med att de samhällsvetare som brydde sig om problemet saknade den matematiska bakgrund som krävs för att åstadkomma användbara modeller.
Det blev till slut två fysiker -- Duncan Watts [4] och Steven Strogatz vid Cornell -- som formulerade den första något så när användbara matematiska modellen i detta sammanhang. Deras artikel i Nature 1998 blev mycket uppmärksammad, och Watts' doktorsavhandling ( Small Worlds, Princeton University Press 1999) fick osedvanligt stor spridning. I sin nya, populärt hållna, bok Six Degrees: The Science of a Connected Age skisserar Watts den snabba utveckling som därefter skett av teorin för nätverksmodeller. Området drivs inte bara av ambitionen att förtså sociala nätverk, utan även (och i än högre grad) av tekniska tillämpningar: strukturen hos Internet och hos elkraftsnät är viktiga och aktuella exempel. Watts' entusiastiska ambition att täcka in ett brett spektrum av tillämpningar gör att hans bok till slut ger ett något spretigt intryck. En annan avigsida med boken för den matematiskt litterate läsaren är författarens konsekventa undvikande av matematiskt formelspråk, som för med sig att han ibland lägger flera sidor på att förklara något som man snart inser hade gått bra att uttrycka på fem rader om han bara hade tillåtit sig en enda tämligen oskyldig formel.
Trots detta kan boken läsas med behållning även av en matematiker. Inte minst tack vare den utförligt kommenterade litteraturförteckningen kan den fungera som en ingång till ett forskningsområde som utan tvivel kommer att frodas under lång tid framöver, och i vilket utrymmet för och behovet av matematiker är uppenbart.
Det kapitel i Six Degrees som mer än de andra fick mig att tända till, är det som behandlar datalogen Jon Kleinbergs kritik av Watts' och Strogatz' ursprungliga nätverksmodell. Denna modell består av ett underliggande gitter (respresenterande kontakter mellan geografiskt närboende personer) till vilket slumpmässiga ''långdistanslänkar'' fogas. En lämplig matematisk definition på om en modell uppvisar Milgrams ''världen är liten''-egenskap då antalet individer $n$ går mot $\infty$, är att avståndet mellan två typiska noder i grafen växer högst logaritmiskt (eller möjligen poly-logaritmiskt) i $n$. Watts-Strogatz-modellen har denna egenskap, men vad Kleinberg insåg var att om man dessutom gör rimliga antaganden om vad enskilda personer kan veta om andra individers kontakter, så har Watts-Strogatz-nätverket dålig navigerbarhet: visserligen finns korta vägar, men dessa är i parktiken omöjliga att hitta. Kleinbergs argumentation visar att om Watts-Strogatz-modellen (med ett tvådimensionellt underliggande gitter) vore riktig, så skulle Milgrams brevkedjor typiskt få en längd av storleksordningen $n^{1/3}$, vilket kraftfullt motsägs av experimentet. Denna insikt utlöste en febril aktivitet i att försöka förbättra Watts-Strogatz-modellen, och sökandet efter och utvärderandet av mer realistiska modeller fortskrider.
| * * * | |
I förra numret av medlemsutskicket drog Thomas Weibull en lans för Inger Enkvists Feltänkt (SNS Förlag, 2000), som är en svidande uppgörelse med de senaste årtiondenas förhärskande ideologi inom skola och skolpolitik. Denna mycket läsvärda och angelägna bok har Enkvist nu följt upp med Skolan -- ett svenskt högriskprojekt, som även den förtjänar att få en stor läsekrets. Perspektivet breddas jämfört med förra boken genom att Enkvist -- själv professor i spanska vid Lunds universitet -- bjudit in representanter för en rad andra akademiska ämnen att bidra: bland kapitelförfattarna återfinns bland andra etnologen Jonas Frykman, den för medlemsutskickets läsare välbekante Ulf Persson, och universitetslektorn i rättsvetenskap Leif Alsheimer, känd för sitt ambitiösa projekt att ge bred boklig bildning åt sina studenter vid Handelshögskolan i Jönköping. Vartannat kapitel har Enkvist skrivit själv.
Ett centralt tema i boken är beskrivningen och kritiken av hur skolans tidigare huvudsyfte -- att förmedla kunskaper och kulturarv -- i ökande utsträckning kommit att hamna i skuggan av allehanda sociala aspekter, något som träffande kan sammanfattas i ordet ''dagisifiering''. För personer födda på 60-talet eller tidigare, som i vuxen ålder inte sett skolan med egna ögon, blir det lätt en chockartad upplevelse att inse hur långt i denna riktning utvecklingen gått.
En huvudambition med svensk skolpolitik har allt sedan enhets- och grundskolans införande varit att ge alla elever, oavsett hemmiljö och social tillhörighet, samma chanser. För att uppnå detta har man i allt högre grad kommit att göra barnets [5] egen erfarenhetsvärld och sociala bakgrund till utgångspunkt i undervisningen. Fokus har flyttats från framtiden (''som vuxen kommer du att ha nytta av att kunna engelska och matematik'') till nuet (''du är bra som du är''). Jonas Frykman förklarar i sitt kapitel hur denna (i all välvilja genomförda) förskjutning motverkar sitt syfte, och hindrar eleven från att frigöra sig från sin bakgrund och söka sig vidare mot högre kunskapshöjder. Elevens ökade frihet i klassrummet -- och det därmed följande ansvaret -- missgynnar dem från studieovana hemmiljöer, mer än vad som är fallet i mer traditionell undervisning.
Lärarutbildningen, som ju efter den senaste reformen än mer än tidigare sätter ämnesstudier på undantag, hör till det som i boken kritiseras skoningslöst. Enkvists referat av de olika officiella dokument som kommit att styra dagens utbildningssystem drar ibland något åt det hånfulla hållet, men hånet är alltid välriktat och välförtjänt, som i följande läsning av den parlamentariska utredning från 1999 som kom att ligga till grund för dagens lärarutbildning:
| Beträffande lärare i tyska framhålls att det vore ett rekryteringshinder att begära förkunskaper i tyska när de studerande söker in till den allmänna lärarutbildningen, eftersom det kan finnas någon som kan vara en mycket lämplig tysklärare men som inte läst tyska. Driver kommittén med oss? | |
Den svenska skolan, och utbildningssystemet i sin helhet, befinner sig i mer eller mindre fritt fall. Skolan -- ett svenskt högriskprojekt ger viktiga bidrag till analysen av läget och förslag till åtgärder, och är (trots det anspråkslösa formatet) en guldgruva för den som är bekymrad över utvecklingen och vill beväpna sig med argument för en skola som åter sätter kunskapen i högsätet.
| * * * | |
Elizabeth Gold är en ung poet bosatt i New York. Vårterminen 2000 såg hon sig nödsakad att försörja sig som vikarierande engelsklärare för niondeklassare på en skola i Queens. Brief Intervals of Horrible Sanity är hennes berättelse om hur terminen förlöpte. Framställningen är både självutlämnande och fylld med värme och humor. Vi får ta del av hur hon, trängd mellan å ena sidan klassrummets kaotiska verklighet och å andra sidan skolledare som förläst sig på slagord som ''teach the child, not the subject '' och ständigt predikar de senaste trenderna inom progressiv pedagogik, pendlar mellan hopp och förtvivlan.
Golds skildring av en modern high school ur ett lärarperspektiv är på samma gång en gripande historia och ett viktigt tidsdokument. Som samhällsreportage är den synnerligen relevant även i Sverige, då problemen i den svenska och den amerikanska skolan i hög grad sammanfaller.
| * * * | |
[2] Förutom för sin forskning är Gowers känd för sin mycket läsvärda uppsats The two cultures of mathematics, tillgänglig på hans hemsida.
[3] Gowers' bok gjorde mig nyfiken på huruvida serien överlag håller lika hög klass. Mer eller mindre på måfå valde jag att läsa Sociology: A Very Short Introduction av en professor i sociologi i Aberdeen vid namn Steve Bruce. Det blev en besvikelse: Bruce visar på flera ställen i boken prov på flagrant bristande tankeskärpa, och han använder ordet reality på ett för den naturvetenskapligt skolade läsaren stötande vis. Ett remarkabelt lågvattenmärke nås då han generellt dömer ut andra utgångspunkter för sociologiska studier än sociologins inomvetenskapliga drivkrafter, med hänvisning till Lysenkoismens förening av genetik och Marxist-Leninistisk filosofi som bevis på hur illa det går om man försöker sammanfoga idéer från olika discipliner. Om Steve Bruce verkligen är tänkt att vara sociologins svar på Timothy Gowers, så är det illavarslande (för sociologin).
[4] Watts kallar sig själv matematiker, men jag dristar mig ändå att kalla honom fysiker, då han (a) doktorerade i ''theoretical and applied mechanics'', (b) publicerar sig i fysik- men inte matematiktidskrifter, och (c) har en fysikers syn på matematisk bevisföring.
[5] Ett språkligt symptom på dagisifieringen är att man numera allt oftare talar om ''barnet'' och allt mer sällan om ''eleven''.