Kurs-PM
MAI530- Matematisk modellering.

Applied biomathematics. TMV090
våren 2007

A detailed plan for the course in english is here


Kursen matematisk modellering innehåller följande huvudmoment:

  • Generellt om matematisk modellering; dimentionanalys, flera exempel på matematisk modellering i fysik, biologi, kemi.

  • Kvalitativ teori för ordinära differentialekvationer

  • Modellering med PDE

  • Stokastiska modeller.

  • Ett matematiskt modelleringsprojekt.


Generellt om matematisk modellering

Exempel på problem som vi studerar är

  • ickelinjära oscillationer

  • deterministiska och stokastiska modeller för kemiska reaktioner.

  • strömningsproblem,

  • dynamiken hos populationer,

  • vågor i olika slags reaktion-diffusion system.

Ordinära differentialekvationer

Denna kapitel av kursen består av en kortare del med grundläggande begrepp och satser och en större del där vi skall lära hur variation av parametrar i en ekvation påverkar kvalitativa egenskaper hos dess lösningar. Huvudmoment är:

  • fasporträtt, stabilitet

  • asymptotiska metoder,

  • bifurkationer,

  • periodiska lösningar

Modeller med partielladifferentialekvationer (PDE).

  • Reaktion-diffusion processer med vågor av reaktioner.

  • Signal och transportprocesser i celler.

Stokastiska modeller i biologi och fysik.

  • Olika typer av stokastiska modeller.

  • Stokastiska approacher för att lösa olika (även deterministiska) problem.



Modelleringsprojekt

En stor del av kursen består i att utföra ett matematiskt modelleringsprojekt. Dessa skall utföras i grupper om max tre personer.

I uppgiften ingår:

1) att analysera problemet, 2) att göra en matematisk modell, 3) att finna en (vanligen numerisk) metod, 4) att göra en omfattande numerisk undersökning av modellen, 5) att genomföra analysisk och numerisk undersökning av kvalitativa egenskaper hos modellen vid variation av parametrar, 6) och att tolka resultaten.

Elever uppmanas att använda olika typer av matematiska modeller: ODE, stokastiska processer, PDE för att maximalt utnyttja kursens material.


Till sist skall allt detta presenteras under ett seminarium i slutet av kursen, och en rapport skall skrivas. Övriga deltagare i kursen förväntas delta aktivt i seminariet, med frågor, kritik och beröm.

Grupperna kan själva hitta på problem (men problemet måste i så fall godkännas av examinator redan under läsvecka 1), eller väja något av nedanstående:

  • Modellera spridning av vätska in en porös media.

  • Modellera skydd för en kärnreaktor.

  • Modellera vibrationer av ett stång i ett flöde.

  • Modellera kalcium vågor i celler.

  • Modellera fullständigt en glödlampa.

  • Modellera ion-transport genom kanaler i cellmembraner.

  • Modellera elastiska lipid-membraner.

  • Modellera temperaturen i en sjö, alternativt en droppe.

    Hur lång tid tar det för den att frysa fullständigt? Hur lång tid tar det för en bottenfrusen sjö, helt frysen droppe att tina upp?


Rapporter för projekten från våren 2005 finns här

Examination

Kursen examineras dels genom projektredovisningen, och dels med en med en mer traditionell tentamen.

Dessutom gör elever inlämningsuppgifter över olika delar av kursen. Resultat av inlämningsuppgifterna tillgodoräknas som delar av tentamen.

Frågor till tentan, beskrivning av poängsättningen för kursen och list över bonus poäng finns här



  • Varje grupp skall under den sista läsveckan ge en 30 minuter lång presentation av sitt projekt. Därefter skall kursdeltagarna ges chans att ställa frågor och diskutera resultaten.

  • För att diskussionen skall bli meningsfull, måste en preliminär version av projektrapporten finnas färdig i god tid innan redovisningen. Den slutgiltiga rapporten skall lämnas senast måndagen efter tentamensperioden.

  • Tentamen är skriftlig och tar två timmar

Tentan år 2005: här

Kurslitteratur

  • Jag kommer att använda flera olika böcker. Jag skall kopiera anteckningar efter förelsningar och lämpliga texter från olika böcker. Det blir mycket diverse `` stencilerat material'' från följande böcker och artiklar:

  • Arrowsmith D.K. , Place C.M.: Ordinary Differential Equations.

    A Qualitative Approach with Applications. Chapmann and Hall. (1982).

    En av bästa böcker om detta ämne: tydlig, kort av lagom

    hög nivå och med flera exempel som demonstrerar allmänna konstruktioner.

  • Nayfeh A.H. Introduction to Asymptotic Methods.

    Den allra bästa lärobok i hur man kan undersöka beroendet av lösningar till ordinära differential ekvationer av små parametrar. Wiley & Sons. 1981. Boken visar en problemorienterad framställning av metoder.

  • Tyson J. et. all. Computational Cell Biology. Springer. 2002. Boken innehåller flera exempel med matematiska modeller i cellbiologi.

  • Jacques. J. A. Modeling with compartments. BioMedware. 1999. Boken ger flera exempel med ODE och stokastiska modeller i medicin och biologi.

  • Gillespie. D.T. A General Method for Numerical simulating the stochastic time evolution of coupled chemical reactions. J.Comp. Phys. 22, 403-434, (1976)




Alexei Heintz <heintz@math.chalmers.se>