Kurs-PM
MAI530- Matematisk modellering.
Applied
biomathematics. TMV090 våren 2007
A
detailed plan for the course in english is here
Kursen matematisk modellering
innehåller följande huvudmoment:
Generellt om matematisk
modellering; dimentionanalys, flera exempel på
matematisk modellering i fysik, biologi, kemi.
Kvalitativ teori för
ordinära differentialekvationer
Modellering med PDE
Stokastiska modeller.
Ett matematiskt
modelleringsprojekt.
Generellt om matematisk
modellering
Exempel på problem som vi studerar är
ickelinjära
oscillationer
deterministiska och
stokastiska modeller för kemiska reaktioner.
strömningsproblem,
dynamiken hos
populationer,
vågor i olika slags
reaktion-diffusion system.
Ordinära
differentialekvationer
Denna kapitel av kursen består av en kortare del med
grundläggande begrepp och satser och en större del
där vi skall lära hur variation av parametrar i en
ekvation påverkar kvalitativa egenskaper hos dess
lösningar. Huvudmoment är:
fasporträtt,
stabilitet
asymptotiska metoder,
bifurkationer,
periodiska lösningar
Modeller med
partielladifferentialekvationer (PDE).
Stokastiska modeller i biologi
och fysik.
Modelleringsprojekt
En stor del av kursen består i att utföra ett
matematiskt modelleringsprojekt. Dessa skall utföras i
grupper om max tre personer.
I
uppgiften ingår:
1) att analysera
problemet, 2) att göra en matematisk modell, 3) att
finna en (vanligen numerisk) metod, 4) att göra en
omfattande numerisk undersökning av modellen, 5) att
genomföra analysisk och numerisk undersökning av
kvalitativa egenskaper hos modellen vid variation av
parametrar, 6) och att tolka resultaten.
Elever
uppmanas att använda olika typer av matematiska
modeller: ODE, stokastiska processer, PDE för att
maximalt utnyttja kursens material.
Till sist skall allt detta presenteras under ett
seminarium i slutet av kursen, och en rapport skall skrivas.
Övriga deltagare i kursen förväntas delta
aktivt i seminariet, med frågor, kritik och beröm.
Grupperna kan själva hitta på problem (men
problemet måste i så fall godkännas av
examinator redan under läsvecka 1), eller väja
något av nedanstående:
Modellera spridning av vätska
in en porös media.
Modellera skydd för
en kärnreaktor.
Modellera vibrationer av
ett stång i ett flöde.
Modellera kalcium vågor
i celler.
Modellera fullständigt en glödlampa.
Modellera ion-transport
genom kanaler i cellmembraner.
Modellera elastiska
lipid-membraner.
Modellera temperaturen i
en sjö, alternativt en droppe.
Hur lång tid tar det
för den att frysa fullständigt? Hur lång tid
tar det för en bottenfrusen sjö, helt frysen
droppe att tina upp?
Rapporter
för projekten från våren 2005 finns här
Examination
Kursen examineras dels genom projektredovisningen, och
dels med en med en mer traditionell tentamen.
Dessutom gör elever inlämningsuppgifter över
olika delar av kursen. Resultat av inlämningsuppgifterna
tillgodoräknas som delar av tentamen.
Frågor
till tentan, beskrivning av poängsättningen för
kursen och list över bonus poäng finns här
Varje grupp skall under
den sista läsveckan ge en 30 minuter lång
presentation av sitt projekt. Därefter skall
kursdeltagarna ges chans att ställa frågor och
diskutera resultaten.
För att diskussionen
skall bli meningsfull, måste en preliminär
version av projektrapporten finnas färdig i god tid
innan redovisningen. Den slutgiltiga rapporten skall lämnas
senast måndagen efter tentamensperioden.
Tentamen är skriftlig
och tar två timmar
Tentan
år 2005: här
Kurslitteratur
Jag
kommer att använda flera olika böcker. Jag skall
kopiera anteckningar efter förelsningar och lämpliga
texter från olika böcker. Det blir mycket diverse
`` stencilerat material'' från
följande böcker och artiklar:
Arrowsmith
D.K. , Place C.M.: Ordinary Differential Equations.
A
Qualitative Approach with Applications. Chapmann and Hall.
(1982).
En av
bästa böcker om detta ämne: tydlig,
kort av lagom
hög nivå och med
flera exempel som demonstrerar allmänna konstruktioner.
Nayfeh A.H. Introduction
to Asymptotic Methods.
Den allra bästa lärobok
i hur man kan undersöka beroendet av lösningar
till ordinära differential ekvationer av små
parametrar. Wiley & Sons. 1981. Boken visar en
problemorienterad framställning av metoder.
Tyson J. et. all.
Computational Cell Biology. Springer. 2002. Boken innehåller
flera exempel med matematiska modeller i cellbiologi.
Jacques. J. A. Modeling
with compartments. BioMedware. 1999. Boken ger flera exempel
med ODE och stokastiska modeller i medicin och biologi.
Gillespie. D.T. A General Method for Numerical
simulating the stochastic time evolution of coupled chemical
reactions. J.Comp. Phys. 22, 403-434, (1976)
|