Partiella Differentialekvationer F

1. Studera med hjälp av matlab programmet/gui'n PP vad "styckvisa polynom" (Piecewise Polynomials) är för något, och hur väl en given funktion kan approximeras med sådana funktioner. Besvara de frågor som här dyker upp. Guin består av två "designfiler" PP.m och PP.mat, och en "administrationsfil" PPmod.m, som du kopierar hem genom att "shift-klicka" på länkarna, och kör genom att ge kommandot PP vid din matlab prompt. 5.32.
2. Förstå interpolationsuppskattningarna (14.1-2) och dess härledning i boken, liksom motsvarande uppskattningar i en dimension (se bokens Theorem 5.4 och problem 5.32 och motsvarande övn. i föreläsningsanteckningarna till lecture 10).
3. Komplettera och testa koden i (shift klicka hem) MyPoissonSolver.m för lösning av ekv (-au')'+cu=f för 0<x<1, med givna randvillkor i x=0 och x=1. Tillämpa på valfritt problem av intresse.
4. Skriva ett matlabprogram för lösning av värmeledningsekvationen i en rumsdimension med givna begynnelse- och randvillkor, med cG1 finita element i rumsled och cG1/Crank-Nicolson resp. dG0/implicit Euler i tidsled. Koden kan med fördel baseras på din Poissonlösare, som i (shift klicka hem) MyHeatEqSolver.m. Alternativt kan du välja den mer primitiva metoden att hårdkoda in ditt problem utgående från exempelkoden i länken nedan. Simulera med data a) f=0, u(x,0)=1, u(0,t)=0, u'(1,t)=0 b) f=0, u(x,0)=0, u(0,t)=0, u'(1,t)=sin(10t). Kan man se några kvalitativa skillnader mellan cG1 och dG0? I mån av tid och intresse: Sök (med trial & error) en inre värmekälla f(x,t) som (approximativt) reglerar innertempen till 0 grader givet det variabla värmeinflödet vid x=1 i b).
5. Testa att lösa något två dimensionellt Poissonproblem med hjälp av matlab koden MyPLPoissonSolver.m, och något motsvarande tidsberoende problem utgående från MyPLHeatEqSolver.m och/eller MyPLWaveEqSolver.m.
6. Utveckla en egen lösare (baserad på MyPLPoissonSolver.m t.ex.) för Schrödingerekvationen under lämpliga förutsättningar, dvs sök egenfunktioner och motsvarande egenvärden. För att (i matlab) lösa det resulterande diskreta egenvärdesproblemet AU=EU finns funktionen eig.m. (se >>help eig).
7. Skriva ett matlabprogram för lösning av vågekvationen i en rumsdimension med givna begynnelse- och randvillkor. För rumsdiskretiseringen används cG1 och för tidsdiskretiseringen cG1 resp dG0 med ekvationen skriven som ett första ordningens system med obekanta u och v=du/dt. Simulera a) longitudinella svängningar i en stav fixerad i en ända och fri i den andra som i projekt 1 (hur fungerar de olika metoderna för tidsdiskretisering i detta fall?), samt b) Takoma bridge fenomenet med hjälp av ekvationen dv/dt=u''+f med f=sin(3*pi*t)*sin(3*pi*x) och randvillkoren u(0,t)=0 och u(1,t)=0 (alt f=sin(3/2*pi*t)*sin(3/2*pi*x) med randvillkor u(1,0)=0 ersatt med u'(1,0)=0).